Zonágono
En geometría, un zonágono (del término en inglés zonogon; "polígono zonal") es un polígono convexo con simetría central.[1] De manera equivalente, se trata de un polígono convexo cuyos lados se pueden agrupar en pares paralelos con iguales longitudes y orientaciones opuestas (cuando se recorre el polígono en un sentido determinado).
Ejemplos
[editar]Un polígono regular es un zonágono si y solo si tiene un número par de lados.[2] Por lo tanto, el cuadrado, el hexágono regular y el octógono regular son todos zonógonos.
Los zonógonos de cuatro lados son el cuadrado, el rectángulo, el rombo y los paralelogramos.
Teselado y equidisección
[editar]Los zonágonos de cuatro lados y de seis lados son paralelógonos, capaces de formar mosaicos en el plano mediante copias trasladadas de sí mismos, y todos los paralelógonos convexos poseen esta propiedad.[3]
Cada zonágono con lados puede ser teselado por zonágonos de cuatro lados.[4] Para este recubrimiento, se requiere un tipo de zonágono de cuatro lados por cada par de pendientes distintas de los lados del zonágono de lados a recubrir. Al menos tres de los vértices del zonágono deben ser vértices de solo una de las teselas de cuatro lados en cualquiera de tales recubrimientos.[5] Por ejemplo, el octógono regular puede ser recubierto por dos cuadrados y por cuatro rombos con ángulos de 45°.[6]
En una generalización del teorema de Monsky,Paul Monsky (1990) demostró que ningún zonágono posee una equidisección con un número impar de triángulos de igual área.[7][8]
Otras propiedades
[editar]En un zonágono de lados, como máximo pares de vértices pueden estar a una distancia unidad entre sí. Existen zonágonos con lados pares a distancia unidad.[9]
Formas relacionadas
[editar]Los zonágonos son los análogos bidimensionales de los zonaedros tridimensionales y de los zonátopos de mayor dimensión. Como tales, cada zonágono puede ser generado como la suma de Minkowski de una colección de segmentos rectos en el plano.[1] Si no hay dos segmentos paralelos, habrá un par de lados paralelos por cada segmento de línea. Cada cara de un zonahedro es un zonágono, y cada zonágono es la cara de al menos un zonaedro, el prisma sobre ese zonágono. Además, cada sección transversal plana a través del centro de un poliedro centralmente simétrico (como un zonaedro) es un zonágono.
Referencias
[editar]- ↑ a b Boltyanski, Vladimir; Martini, Horst; Soltan, P. S. (2012), Excursions into Combinatorial Geometry, Springer, p. 319, ISBN 9783642592379.
- ↑ Young, John Wesley; Schwartz, Albert John (1915), Plane Geometry, H. Holt, p. 121, «If a regular polygon has an even number of sides, its center is a center of symmetry of the polygon».
- ↑ Alexandrov, A. D. (2005), Convex Polyhedra, Springer, p. 351, ISBN 9783540231585.
- ↑ Beck, József (2014), Probabilistic Diophantine Approximation: Randomness in Lattice Point Counting, Springer, p. 28, ISBN 9783319107417.
- ↑ Andreescu, Titu; Feng, Zuming (2000), Mathematical Olympiads 1998-1999: Problems and Solutions from Around the World, Cambridge University Press, p. 125, ISBN 9780883858035.
- ↑ Frederickson, Greg N. (1997), Dissections: Plane and Fancy, Cambridge University Press, Cambridge, p. 10, ISBN 0-521-57197-9, MR 1735254, doi:10.1017/CBO9780511574917.
- ↑ Monsky, Paul (1990), «A conjecture of Stein on plane dissections», Mathematische Zeitschrift 205 (4): 583-592, MR 1082876, doi:10.1007/BF02571264.
- ↑ Stein, Sherman; Szabó, Sandor (1994), Algebra and Tiling: Homomorphisms in the Service of Geometry, Carus Mathematical Monographs 25, Cambridge University Press, p. 130, ISBN 9780883850282.
- ↑ Ábrego, Bernardo M.; Fernández-Merchant, Silvia (2002), «The unit distance problem for centrally symmetric convex polygons», Discrete and Computational Geometry 28 (4): 467-473, MR 1949894, doi:10.1007/s00454-002-2882-5.
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