نمایش مبدأ برای اتحاد و تجزیه

{{pp-semi-indef|small=yes}}
'''اتحاد''' در ریاضیات {{به انگلیسی|Factorization}}، یک [[گزاره (منطق)|گزارۀ]] همواره صادق است که معمولاً برای ساده‌سازی فعالیت‌های جبری در ریاضی به‌کار می‌رود. به عبارتی بهتر؛ معادله‌ای که به ازای هر [[عدد حقیقی]] برقرار باشد اتحاد نامیده می‌شود.<ref>حساب دیفرانسیل و انتگرال با هندسهٔ تحلیلی نوشتهٔ لویی لیت هولد</ref>

''تجزیه'' عبارت است از شکستن یک عبارت ([[عدد]]، [[چندجمله‌ای]] یا [[ماتریس (ریاضی)|ماتریس]]) به‌صورت مضربی از عبارات دیگر، به‌صورتی که حاصل‌ضرب آن‌ها عبارت اصلی را نتیجه بدهد. مثلاً عدد ۱۵ به دو [[عدد اول]] ۵ و ۳ تجزیه می‌شود و چندجمله‌ای ''x''<sup>۲</sup> − ۴ به (''x'' − ۲'')(x'' + ۲).
(برای مثال در این تجزیه از اتحاد مزدوج استفاده شده‌است) نتیجهٔ یک تجزیه همیشه حاصل‌ضربی از عبارات ساده‌تر است، و تجزیه یک چندجمله‌ای همواره یکتاست. هرچند از راه‌های مختلفی می‌توان تجزیه را انجام داد.

== کاربرد اتحاد ==
* ساده‌سازی محاسبات اعدادی مانند۱۰۱<sup>۲</sup>
* تجزیۀ عبارات گویا که خود در [[ب.م.م|ب. م. م]]‌گیری و [[ک.م.م|ک. م. م]]‌گیری کاربرد دارد.
* تجزیۀ عبارات گویا که برای حل معادلات درجۀ دو و سه و بیشتر کاربرد دارد.
* به‌دست آوردن جواب معادلات درجهٔ دو

== انواع اتحاد ==
اتحادها بسیار زیاد هستند، اما چند اتحاد اصلی که پایهٔ اتحادهای دیگر هستند از این قرارند:

=== بسط دوجمله‌ای ===
{{اصلی|بسط دوجمله‌ای}}
[[پرونده:Binomial theorem visualisation.svg|بندانگشتی|معادل هندسی بسط دوجمله‌ای، تا توان چهار. به عنوان مثال، مساحت مربعی به ضلع a+b برابر مجموع مساحت یک مربع به ضلع a، دو مستطیل به طول a و عرض b، و یک مربع به ضلع b است: <math>(a + b)^2 = b^2 + 2ab + a^2\,</math>.]]

==== مربع دو جمله‌ای (اتحاد اول و اتحاد دوم) ====
:مربع مجموع دو جمله‌ای
::{{فس|<math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \,\!</math>}}
:مربع تفاضل دو جمله‌ای
::{{فس|<math>(a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \,\!</math>}}

==== مکعب دو جمله ای ====
::{{فس|<math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \,\!</math>}}
::{{فس|<math>(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 \,\!</math>}}

=== اتّحاد مربع سه جمله‌ای ===
::{{فس|<math>(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc \,\!</math>}}
:::نکته: اتحاد مربع سه جمله‌ای برخلاف اتحادهای مربع دو جمله‌ای و مکعب دو جمله‌ای، برای تفریق کاربرد '''ندارد .'''

=== اتّحاد مزدوج: ===
::{{فس|<math>(a-b)(a+b)=a^2-b^2 \,\!</math>}}کاربرد اتحاد مزدوج در تجزیه عبارت های جبری:

اتّحاد مزدوج برای تجزیه کردن عبارت های جبری که به‌صورت دو جمله ی مربع کامل هستند،استفاده می شود.

نکته ۱:اتّحاد مزدوج برای تجزیه عبارت های جبری که به‌صورت مجموع دو جمله ی مربع کامل هستند،کاربرد ندارد.

نکته ۲:اتّحاد مزدوج برای تجزیه عبارت های جبری که ۳ جمله دارند،استفاده نمی شود.

=== اتحاد جمله مشترک ===
::{{فس|<math>(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab \,\!</math>}}
::{{فس|<math>(x+a)(x-b)=x^2+(a-b)x-ab \,\!</math>}}

=== مجموع و تفاضل مکعبات دوجمله (اتحاد چاق و لاغر یا فیل و فنجان) ===
::{{فس|<math> a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2),\,\!</math>}}
::{{فس|<math> a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2).\,\!</math>}}

=== اتحاد اویلر ===
::{{فس|<math>(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc) = a^3 + b^3 + c^3 - 3abc</math>}}

=== اتحاد لاگرانژ ===
::{{فس|<math>(a^2+b^2)(x^2+y^2)=(ax-by)^2+(ay+bx)^2 \,\!</math>}}

=== بسط چندجمله‌ای نیوتن ===
::{{فس|<math>(a+b)^n=\binom{n}{0}a^nb^0+\binom{n}{1}a^{n-1}b^1+\dots+\binom{n}{n}a^0b^n</math><ref>فصل سوم پایه دهم دبیرستان رشته تجربی</ref>}}

== منابع ==
{{پانویس}}

{{ریاضی-خرد}}

[[رده:جبر مقدماتی]]
[[رده:حساب]]
[[رده:ویکی‌سازی رباتیک]]