حساب کسری

حساب کسری (به انگلیسی: Fractional calculus) بخشی از آنالیز ریاضی است که بر روی انجام عمل‌های مشتق و انتگرال روی اعداد حقیقی یا اعداد مختلط در مراتب کسری مطالعه می‌کند. به‌طور مثال عملگر مشتق به صورت روبه‌رو تعریف نمی‌شود

$D={\dfrac {d}{dx}},$

و عملگر انتگرال به صورت J. (در فیزیک از I استفاده می‌شود)

همچنین توان‌ها از روش ترکیب تابع بدست می‌آید به‌طور مثال، f²(x) = f(f(x)). و ممکن است این سؤال پیش بیاید که آیا

${\sqrt {D}}=D^{\frac {1}{2}}\,$

معنی دارد. حساب کسری روی توان‌هایی از عملگر مشتق کار می‌کند که صحیح نیستند و می‌تواند هر مقدار گویایی به خود بگیرند:

$D^{a}\,$

از این طریق می‌توان معادلات دیفرانسیل با مشتقات کسری را تعریف کرد و سیستم‌های فیزیکی را مدل‌سازی کرد. کاربردهای این مدل‌سازی در فیزیک در شبیه‌سازی حرکت و شبیه‌سازی سیستم‌های ترمودینامیکی است.

تاریخچه

تابع گاما (به انگلیسی: Gamma function) در علم ریاضیات، یک تعمیم پرکاربرد برای تابع فاکتوریل به اعداد مختلط است. نماد تابع گاما {\displaystyle \Gamma } می‌باشد، که این نماد حرف بزرگ گاما در الفبای یونانی است. تابع گاما برای همه اعداد مختلط، غیر از اعداد صحیح غیر مثبت، تعریف شده‌است. برای هر عدد صحیح مثبت {\displaystyle n} رابطه زیر برقرار است:

تابع گاما در امتداد محور حقیقی

تابع گاما در صفحه مختلط

{\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!\ .}

دانیال برنولی برای اعداد مختلط با قسمت حقیقی مثبت، رابطه زیر را برای تابع گامای این اعداد به دست آورد، این عبارت یک انتگرال ناسره همگرا می‌باشد:

0\ .}">{\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }x^{z-1}e^{-x}\,dx,\ \qquad \Re (z)>0\ .}0\ .}" style="margin: 0px; padding: 0px; border: 0px; font-style: inherit; font-variant: inherit; font-weight: inherit; font-stretch: inherit; line-height: inherit; font-family: inherit; font-size: 16px; vertical-align: -2.338ex; background: none; display: inline-block; width: 39.644ex; height: 5.843ex;">

تابع گاما به صورت امتداد تحلیلی این تابع انتگرالی به یک تابع مرومورفیک تعریف شده‌است (این تابع یک تابع تمام‌ریخت (هولومورفیک) در صفحه مختلط، بجز در اعداد صحیح غیر مثبت ، که در آنها تابع قطب ساده دارد، می‌باشد).

تابع گاما مقدار صفر ندارد، یعنی تابع گامای معکوس {\displaystyle 1/\Gamma } یک تابع کامل است. در واقع، تابع گاما متناظر با تبدیل ملین برای تابع نمایی منفی است:

{\displaystyle \Gamma (z)=\{{\mathcal {M}}e^{-x}\}(z).}

تعمیم‌های دیگری نیز برای تابع فاکتوریل وجود دارد، اما تابع گاما مردمی‌ترین و مفیدترین تعمیم می‌باشد. این تابع یکی از مولفه‌های مهم در توابع مختلف توزیع احتمال است؛ و از این رو تابع گاما، قابل استفاده در احتمال و آمار و همچنین ترکیبیات می‌باشد.

در ضمن برای هر عدد طبیعی z داریم:

{\displaystyle \Gamma (z)=(z-1)!\,}

همچنین می‌توان ثابت کرد که:

{\displaystyle \Gamma (z+1)=z.\Gamma (z)=z.(z-1)!\,}

این تابع در بسیاری از تابع‌های توزیع احتمال ظاهر می‌شود و در زمینه‌های مختلفی از جمله آمار و احتمال کاربرد دارد.

جستارهای وابسته

• معادله دیفرانسیل
• تبدیل فوریه کسری

منابع

• Wikipedia contributors, "Fractional calculus," Wikipedia, The Free Encyclopedia, http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Fractional_calculus&oldid=598091686 (accessed March 20, 2014).

پیوند به بیرون

• Eric W. Weisstein. "Fractional Differential Equation." From مث‌ورلد — A Wolfram Web Resource.
• MathWorld - Fractional calculus
• MathWorld - Fractional derivative
• Fractional Calculus at MathPages
• Specialized journal: Fractional Calculus and Applied Analysis
• Specialized journal: Fractional Differential Equations (FDE)
• Specialized journal: Communications in Fractional Calculus (ISSN 2218-3892)
• www.nasatech.com
• unr.edu (Broken Link)
• Igor Podlubny's collection of related books, articles, links, software, etc.
• GigaHedron - Richard Herrmann's collection of books, articles, preprints, etc.
• s.dugowson.free.fr
• History, Definitions, and Applications for the Engineer (پی‌دی‌اف) دانشگاه نوتردام
• Fractional Calculus Modelling
• Introductory Notes on Fractional Calculus
• Pseudodifferential operators and diffusive representation in modeling, control and signal
• Power Law & Fractional Dynamics
• The CRONE (R) Toolbox, a Matlab and Simulink Toolbox dedicated to fractional calculus, which is freely downloadable