Fonction partielle

Exemple d'une fonction partielle

En mathématiques, une fonction partielle (quelquefois appelée simplement fonction) sur un ensemble donné $E$ est une application définie sur une partie de celui-ci, appelé ensemble de définition (ou domaine de définition) de la fonction partielle.

Cette notion apparaît en particulier en théorie de la calculabilité, qui s'intéresse aux fonctions partielles récursives : celles-ci sont définies sur une partie de $\mathbb {N}$, l'ensemble des entiers naturels, ou plus généralement de $\mathbb {N} ^{p}$, et l'ensemble de définition d'une fonction partielle récursive ne peut éventuellement pas se définir a priori, c'est-à-dire autrement qu'en indiquant que ce sont les entiers (ou tuples d'entiers) pour lesquels le calcul qui permet de définir la fonction aboutit.

Définitions

Une fonction partielle d'un ensemble $E$ dans un ensemble $F$ est un couple $(D_{f},f)$ constitué d'un sous-ensemble $D_{f}$ de $E$ et d'une application de $D_{f}$ dans $F$. On dit que $f$ est définie en $x\in E$ quand $x\in D_{f}$, et $D_{f}$ est appelé ensemble de définition de $f$.

Un exemple de fonction partielle est la fonction nulle part définie, celle dont le domaine de définition est vide.

Une fonction $f$ de $E$ dans $F$ est dite totale quand $f$ est partout définie sur $E$, c'est-à-dire que $E=D_{f}$.

Articles connexes

• Restriction d'une fonction