Nombre de Lucas

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La spirale des nombres de Lucas, formée à l'aide de quarts d'arcs de cercle à l'intérieur de carrés dont la mesure des côtés correspondent aux nombres de Lucas.

En mathématiques, les nombres de Lucas sont les termes de la suite de Lucas généralisée associée à la suite de Fibonacci. Cette suite est donc définie par la même relation de récurrence linéaire :

L_{n+2}=L_{n+1}+L_{n}

mais par deux valeurs initiales différentes : au lieu de 0 et 1,

L_{0}=2,\quad L_{1}=1.

La suite $(L n)$ est appelée « suite de Fibonacci-Lucas » ou plus simplement « suite de Lucas ».

Premières valeurs

Cette suite d'entiers est strictement croissante à partir de n = 1. Ses dix premiers termes (pour n de 0 à 9) sont 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47 et 76 (pour n jusqu'à 500, voir la suite A000032 de l'OEIS).

Propriétés

Relation entre un nombre de Lucas et le nombre d’or

Le terme général $L n$ de la suite de Lucas s'exprime en fonction du nombre d'or $φ$ par la formule suivante, analogue à la formule de Binet pour la suite de Fibonacci :

L_{n}=\varphi ^{n}+(-\varphi )^{-n}=\left({1+{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}+\left({1-{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}

;

Les puissances successives de $φ$ sont donc voisines des nombres de Lucas. Plus précisément, $|L_{n}-\varphi ^{n}|$ est égal à $1/ φ n$ , qui est strictement inférieur à 1/2 pour $n\geqslant 2$ (et qui tend rapidement vers 0), ce qui montre que $L n$ est alors l'entier le plus proche de $φ n$ . Par exemple : $φ 2$ = 2,61809..., $φ 3$ = 4,23606..., $φ 4$ = 6,85410...

Relations entre les nombres de Lucas et ceux de Fibonacci

Les nombres de Lucas sont liés aux nombres de Fibonacci par les identités :

$\,L_{n}+F_{n}=2F_{n+1}$
$\,L_{n}=F_{n-1}+F_{n+1}=F_{n}+2F_{n-1}=F_{n+2}-F_{n-2}$
$\,L_{m+n}=L_{m+1}F_{n}+L_{m}F_{n-1}$
$\,L_{n}^{2}=5F_{n}^{2}+4(-1)^{n}$ , et ainsi la suite $\left({\frac {L_{n}}{F_{n}}}\right)$ converge vers ${\sqrt {5}}$ .
$\,F_{2n}=L_{n}F_{n}$
$\,F_{3n}=(L_{2n}+(-1)^{n})F_{n}$
$\,F_{n+k}+(-1)^{k}F_{n-k}=L_{k}F_{n}$
$\,L_{n+k}-(-1)^{k}L_{n-k}=5F_{k}F_{n}$ , et donc
$\,L_{n}=F_{n-1}+F_{n+1}=F_{n+2}-F_{n-2}={F_{n-3}+F_{n+3} \over 2}={F_{n+4}-F_{n-4} \over 3}={F_{n-5}+F_{n+5} \over 5}=\dots ={F_{n-k}+F_{n+k} \over F_{k}}$ , et
$\,F_{n}={L_{n-1}+L_{n+1} \over 5}={L_{n-3}+L_{n+3} \over 10}={L_{n-5}+L_{n+5} \over 25}={L_{n-7}+L_{n+7} \over 65}=\dots$

Relation entre $L n$ , $F n$ et le nombre d’or

En comparant la formule de Binet, $F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{\sqrt {5}}}$ , et la formule analogue pour la suite de Lucas, $L_{n}=\varphi ^{n}+(-\varphi )^{-n}$ , on déduit la relation entre $L n$ , $F n$ et $φ$ :

\varphi ^{n}={{L_{n}+F_{n}{\sqrt {5}}} \over 2}.

Divisibilité des nombres de Lucas

Une première approche de la question de la divisibilité de $L n$ par un entier $a$ consiste à étudier la suite des restes de $L n$ modulo $a$ : cette suite (r_n) vérifie (dans Z/ $a$ Z) la même récurrence $(r n + 2 = r n + 1 + r n)$ et est donc périodique de période au plus $a 2$ (les longueurs des périodes en fonction de $a$ forment la suite des périodes de Pisano, suite A001175 de l'OEIS). Plus précisément, l'étude de cette récurrence, et de la relation $L n = F 2 n / F n$ , dans le corps Z/ $p$ Z (où $p$ est un nombre premier) amène à des résultats analogues à ceux obtenus pour la suite de Fibonacci^[1]^,^[2].

On démontre également qu’aucun nombre de Lucas n'est divisible par un nombre de Fibonacci $F_{n}\geqslant 5$ ^[1].

Nombres de Lucas premiers

On conjecture que la sous-suite des nombres de Lucas premiers, 2, 3, 7, 11, 29, 47, 199, 521, etc. — suite A005479 de l'OEIS — est infinie^[3].

Les indices correspondants, 0, 2, 4, 5, 7, 8, 11, 13, etc. ( A001606), sont tous, hormis 0, premiers ou puissances de 2 ^[3], et les seules puissances de 2 connues qui font partie de cette suite d'indices sont 2, 4, 8 et 16.

Congruences

$L_{n+4}\equiv L_{n}\mod 5$ (car $L_{n+4}-L_{n}=5F_{n+2}$ )
$L_{n}\equiv 1\mod n$ si $n$ est premier mais la réciproque est fausse. Les nombres composés vérifiant $L_{n}\equiv 1\mod n$ sont les nombres pseudo-premiers de Fibonacci.

Démonstration

Soit $p$ un nombre premier impair. Comme $2^{p}L_{p}=(1+{\sqrt {5}})^{p}+(1-{\sqrt {5}})^{p}$ et ${\binom {p}{k}}$ est divisible par $p$ pour $1\leqslant k\leqslant p-1$ , $2^{p}L_{p}\equiv 2\mod p$ . Or d'après le petit théorème de Fermat $2^{p}\equiv 2\mod p$ , on en déduit bien que $L_{p}\equiv 1\mod p$ . Pour p=2, $L_{2}=3\equiv 1\mod 2$ .