אלגברה מופשטת
אלגברה מופשטת היא ענף של האלגברה שבמסגרתו מוגדרים ונחקרים מבנים אלגבריים כגון שדות, חבורות וחוגים. הענף נקרא כך כדי להבדילו מהאלגברה הבסיסית, הנלמדת בבתי ספר, שעוסקת במניפולציות טכניות של ביטויים ונוסחאות מתמטיות במספרים ממשיים ומרוכבים.
תחום חשוב באלגברה מופשטת הוא אלגברה ליניארית, שחוקרת את תכונותיהם של וקטורים, מרחבים וקטוריים, מטריצות, העתקות ליניאריות ומערכות של משוואות ליניאריות.
היסטורית
[עריכת קוד מקור | עריכה]מבחינה היסטורית, המבנים הנחקרים באלגברה מופשטת צצו לרוב לראשונה בתחומים אחרים, ובמסגרת האלגברה זכו לאקסיומטיזציה מדויקת, ותכונותיהם נלמדו לעומק. הענף החל להתפתח באופן עצמאי במאה ה-19 כאשר מתמטיקאים החלו לפתח יצירים מתמטיים, שאינם מספרים (כגון קווטרניונים, וקטורים, מטריצות, חבורות ועוד), והוא הפך לענף המרכזי של האלגברה במאה ה-20 כאשר מגוון המקרים עבר איחוד לתיאור מערכות אלגבריות באופן אקסיומטי או כבניה ממערכות אחרות. היה זה שינוי בהבנת האלגברה מתחום העוסק בעיקר בפתרון של משוואות פולינומיות לתחום העוסק במבנים מופשטים המכונים מבנים אלגברים. ספר הלימוד הראשון, שתיאר את האלגברה באופן החדש היה ספרו של ואן דר וארדן (van der Waerden) אלגברה מודרנית, שיצא בשנת 1930.
היתרון שבשיטת עבודה זו, הוא היכולת להשיג תוצאות כלליות, שתהיינה תקפות למקרים רבים, על ידי התייחסות למספר תכונות בסיסיות המשותפות לכל אותם מקרים, תוך הזנחת המידע שאינו חיוני. לדוגמה, התהליך שבו נבנים המספרים הרציונליים מתוך המספרים השלמים הוא למעשה מקרה פרטי לבנייה של שדה שברים מתוך חוג, ולכן ניתן לחזור עליו לכל חוג שמקיים מספר תכונות נפוצות.
שם התחום מגיע מההפשטה שמתבצעת לעצמים הנחקרים במסגרתו – רוב תכונותיהם מוזנחות, ומתייחסים אך ורק למספר תכונות בסיסיות – "אקסיומות", שמהן מופק המידע על העצמים. לאחר מכן, כל עצם מתמטי שניתן להוכיח כי הוא מקיים את האקסיומות, יקיים את כל התכונות שנמצא שנובעות מאותן אקסיומות.
קישורים חיצוניים
[עריכת קוד מקור | עריכה]
- גדי אלכסנדרוביץ', אז מה זו אלגברה מופשטת?, באתר "לא מדויק", 31 בינואר 2017
- Thomas W. Judson, Abstract Algebra: Theory and Applications
- Edwin H. Connell, Elements of Abstract and Linear Algebra
- אלגברה מופשטת, באתר MathWorld (באנגלית)
- אלגברה מופשטת, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)
אלגברה מפשטת, דף שער בספרייה הלאומית
| אלגברה מופשטת | ||
|---|---|---|
| ענפים | אלגברה ליניארית • אלגברה בוליאנית • אלגברה דיפרנציאלית • אלגברה הומולוגית • גאומטריה אלגברית • טופולוגיה אלגברית • תורת גלואה • תורת החבורות • תורת החוגים • תורת המספרים האלגברית • תורת הקטגוריות • תורת השדות | |
| מבנים אלגבריים | מאגמה • חבורה למחצה • מונואיד • חבורה • חבורה אַבּלִית • חוג • תחום שלמות • שדה • מודול • מרחב וקטורי • אלגברה (מבנה אלגברי) • אלגברת לי • אלגברת הקווטרניונים של המילטון • אלגברה לא אסוציאטיבית | |
| מושגי יסוד | הומומורפיזם • משפטי האיזומורפיזם • תת-חבורה נורמלית • אידיאל • לוקליזציה • מכפלה טנזורית • הצגה ליניארית | |
