תחשיב למדא

תחשיב למדא (לעיתים גם: תחשיב למְבְּדא באנגלית: Lambda calculus) הוא צורה לוגית-פורמלית ריגורוזית להצגה וטיפול בפונקציות במתמטיקה ומדעי המחשב. תחשיב למדא הוא נושא בעל חשיבות בלוגיקה מתמטית (תורת הטיפוסים), יסודות המתמטיקה, מדעי המחשב התאורטיים, בתכנות פונקציונלי ובמערכות הוכחה אוטומטיות.

תחשיב למדא הוא מודל חישובי שעל פי תזת צ'רץ'-טיורינג הוא שלם טיורינג.

רקע

פונקציה היא שלשה $\ (f,A,B)$ כאשר A הוא תחום ההגדרה, B הוא הטווח (A ו-B הן קבוצות) ואילו f הוא יחס מעל $\ A\times B$ שבו לכל $\ a\in A$ יש $\ b\in B$ יחיד שעבורו $\ \left(a,b\right)\in f$. היחס f נקרא לעיתים (באופן לא פורמלי) "כלל התאמה".

בכתיבה מתמטית חופשית מתארים לפעמים פונקציה בנוסח

תהי $\ f:A\to B$ הפונקציה $\ f(x)=x^{2}$

אבל זו צורת רישום לא מדויקת, שכן מבחינה לוגית $\ f(x)=x^{2}$ הוא מספר (אם כי x אינו ידוע). מקובל גם תיאור בסגנון

$f:{\begin{array}{rcl}A&\longrightarrow &B\\a&\longmapsto &f(a)\end{array}}$.

ברם, לצורכי לוגיקה וניתוח הוכחות באמצעות מחשב יש למצוא ביטוי לוגי-פורמלי חד-משמעי שיתאר פונקציה. ביטוי זה הוא סימון למדא.

סימון למדא

סימון למדא הוא ביטוי מהצורה:

$\ f=\lambda x\in A.f(x)\in B$

שמשמעותו היא:

הפונקציה f היא הפונקציה המתאימה לכל $\ x\in A$ איבר $\ f(x)\in B$ (כאשר f הוא כלל התאמה כלשהו).

כאשר:

• הכמת "למדא" מציין שמדובר בכלל התאמה.
• האיבר הראשון אחרי הלמדא הוא תחום ההגדרה של הפונקציה.
• האיבר שאחרי הנקודה הוא כלל התאמה, שבדרך כלל מוצג כביטוי של x. בשביל להיות פורמליים צריך לציין מאיזה טווח לקוח ביטוי זה, אבל מאחר שזה לרוב ברור מההקשר נוהגים להשמיטו. ביישומים רבים, נוח להניח שהטווח של f הוא פשוט התמונה שלה $\ \mathrm {Im} (f)$ .

דוגמה: את הפונקציה של שורש ריבועי נרשום כך:

$\ {\sqrt {}}=\lambda x\in [0,\infty ).{\sqrt {x}}\in [0,\infty )$

הגדרה פורמלית

בצורה פורמלית, ביטוי למדא מוגדר בצורה רקורסיבית הבאה:

• כל משתנה (שמסומן בדרך כלל בתו אחד) הוא ביטוי למדא (כלל המשתנה).
• אם M,N הם ביטויי למדא, אזי גם (MN) הוא ביטוי למדא (כלל הפעלה, אפליקציה).
• אם x הוא משתנה ו-M הוא ביטוי למדא אזי (λx.M) הוא ביטוי למדא (כלל הפשטה, אבסטרקציה). המשתה x נחשב משתנה מכומת באבסטרקציה הזאת.

נהוגים גם כמה כללי קיצור, המאפשרים השמטת סוגריים בלי לשנות את משמעות הביטוי. למשל, אפשר להוריד את הסוגריים החיצוניים; אפשר להוריד סוגריים כשיש כמה אפליקציות ברצף (לכתוב למשל λx.λy.M במקום λx.(λy.M) ) ואפשר להוריד סוגריים כאשר מפעילים כמה משתנים ברצף זה על זה משמאל לימין, כלומר T = xyz שקול ל-T = ((xy)z). בקריאת הביטויים מופעל כלל קריאה ימינה רחוק ככל האפשר, לכן T = λx.Mλy.N מפרשים כ-T = λx.(M(λy.N)) ולא כ-T = (λx.M)(λy.N).

כמו כן מקובל, ככתיב צד (מטא), לסמן ביטוי כלשהו בשם שניתן להשתמש בו אחר כך כקיצור כתיב. בדרך כלל משתמשים לצורך כך בשמות הכתובים באותיות גדולות. למשל, אם אנו מגדירים לעצמנו A = λx.λy.xy, אז אפשר לרשום את הביטוי λz.A A כשהכוונה היא בעצם ל λz.(λx.λy.xy)⁠(λx.λy.xy) . אם השם מורכב מיותר מאות אחת, ניתן להשתמש ברווח כמו גם בסוגריים לצורך הפרדה בין הביטויים.

יודגש כי מתן שמות לביטויים איננו חלק מתחשיב למדה עצמו, שהרי אין בתחשיב למדה שמות לביטויים כלל וכלל.

משתנים חופשיים הם משתנים שאינם מכומתים על ידי אף λ. פורמלית, הם מוגדרים בצורה הבאה:

• בביטוי הכולל משתנה בלבד, המשתנה הזה חופשי
• בביטוי הכולל אפליקציה של שני ביטויים, המשתנים החופשיים הם איחוד של המשתנים החופשיים בכל ביטוי.
• בביטוי שהוא אבסטרקציה של ביטוי תחת משתנה מכומת על ידי λ, המשתנים החופשיים הם המשתנים החופשיים של הביטוי מלבד המשתנה המכומת.

משתנה שאיננו חופשי נקרא קשור.

ביטוי למדה שיש בו לפחות משתנה חופשי אחד נרקא ביטוי פתוח, בעקבות "נוסחה פתוחה" בלוגיקה. ביטוי שאין בו משתנים חופשיים נקרא ביטוי סגור.

חשיבות המשתנים החופשיים היא בהצבות שחשובות בכלל בטא להלן, כאשר מחליפים רק משתנים חופשיים, ואף לא משתנה קשור.

כמו כן בכלל אלפא מותר לשנות משתנה מכומת באבסטרקציה, רק אם אין משתנה חופשי בביטוי שיהפוך לקשור בעקבות השינוי.

כללים לתחשיב למדא

קיימים כללים לוגיים פורמליים המאפשרים מניפולציות וטיפול בפונקציות באמצעות תחשיב למדא.

כלל אלפא

כלל זה אומר ש

$\ \lambda x.f(x)=\lambda y.f(y)$

ומשמעותו הוא ש"למדא" הוא כמת לוגי קושר. כלומר, מותר לשנות את השם של המשתנה הקשור, כל עוד לא מחליפים את שמו לשם של משתנה המופיע חופשית.

כלל בטא

כלל זה אומר ש

$\ \left(\lambda x.f(x)\right)(a)=f(a)$

ומשמעותו היא שהפעלה של הפונקציה על איבר כלשהו מחזירה את התמונה של אותו איבר לפי כלל ההתאמה של הפונקציה. במילים אחרות, זה כלל הצבה לחישוב הערך שמחזירה הפונקציה.

כלל אטא

כלל זה אומר ש

$\ \lambda x.Mx=M$

כאשר $x$ אינו חופשי ב $M$. הרי שעל פי כלל בטא, $\ \left(\lambda x.Mx\right)(a)=Ma$ עבור כל a במקרה כזה.

המעבר ימינה במשוואה ידוע כצמצום אטא, ומעבר שמאלה - הרחבת אטא.

כלל זה מבטא את העיקרון הלוגי של שוויון בהרחבה, אשר על פיו

$\ g=f$

אם ורק אם

$\ \forall a\in A\ :\quad g(a)=f(a)$

משמעותו היא ששתי פונקציות בעלות אותו תחום הגדרה A נחשבות זהות אם ערכיהן זהים עבור כל ערך וערך בתחום הגדרה זה.

דוגמאות

ביטויים ידועים

כמה ביטויי למדה בסיסיים ידועים גם תחת שמות מקובלים, של מה שנקרא "קומבינטורים ",

• I = λx.x
• K = λx.λy.x
• S = λf.λg.λx.fx(gx)
• B = λf.λg.λx.f(gx)
• C = λf.λg.λx.fxg
• W = λ.fλx.fxx
• U = λx.xx

אריתמטיקה

ניתן להגדיר ביטויי למדא המבטאים את הערכים והפעולות האריתמטיים. הדרך המקובלת היא זאת: את הביטויים למספרים הטבעיים מגדירים בצורה הבאה:

• ZERO = λf.λx.x
• ONE = λf.λx.fx
• TWO = λf.λx.f(fx)
• THREE = λf.λx.f(f(fx))

וכן הלאה. כלומר, ביטוי של מספר כלשהו מפעיל את הפונקציה הניתנת לו, f, את אותו מספר פעמים של המספר עצמו, ברצף, החל מהערך הנוסף x, יהיו f ו-x אשר יהיו. לדוגמה,

• TWO f x = f(fx)

עבור כל f ו-x. כלומר, ה-f מופעל פעמיים ברצף החל מה x.

נשים לב שהפונקציה f הניתנת לביטוי מספר, צריכה להיות כזאת שמסוגלת לקבל כארגומנט את אותו סוג הערך שהיא מייצרת בעצמה.

בהגדרות שלמעלה רואים בבירור ש

• THREE = λf.λx.f(TWO f x)

ובכלל, על ידי הפשטה מקבלים הגדרה כללית של פעולת המספר העוקב SUCC שמקיימת משוואה

• THREE = SUCC TWO = λf.λx.f(TWO f x) = (λn.λf.λx.f(n f x)) TWO

פעולת ההפשטה, האבסטרקציה בצעד האחרון, מייצרת בהתאם את ביטוי הלמדה הסגור מסוג אבסטרקציה, וכך מתקבלת מעצמה ההגדרה

• עוקב: SUCC = λn.λf.λx.f(n f x)

או בעברית, "המספר העוקב של n מפעיל n פעמים ברצף את הפונקציה f החל מהערך x, ואז מפעיל את הפונקציה פעם אחת נוספת. ביחד, n + 1 פעמים."

תחת אותה השיטה מגדירים גם פעולות חשבוניות נוספות,

• חיבור: ADD = λm.λn.m SUCC n = λm.λn.λf.λx.mf(nfx)
• כפל: MULT = λm.λn.λf.λx.m(nf)x
• חזקה: EXPT = λb.λn.λf.λx.nbfx
• קודם: PRED = λn.λf.λx.n(λr.λi.i(rf))(λy.x)(λy.y)
• חיסור: SUB = λm.λn.n PRED m
• עצרת: FACT = λnf.n(λra.a(r(SUCC a)))(λa.f)ONE

למשל, PRED THREE f x הופך ל-I(f(f(Kxf))) כלומר f(fx) כלומר אותה התוצאה כמו של TWO f x, עבור כל f ו-x. ובכלל ניתן לראות ש

PRED (SUCC n) f x =

SUCC n (Xf) (Kx) I =

Xf (n (Xf) (Kx)) I =

I (n (Xf) (Kx) f) =

n f x

מכיוון ש Xfri = i(rf) ולכן Xfrf = f(rf) וכמובן Kxf = x. השתמשנו בקיצור כתיבה X = λf.λr.λi.i(rf).

כמו כן,

PRED ZERO f x = ZERO (Xf) (Kx) I = KxI = x = ZERO f x

PRED (PRED ZERO) f x = PRED ZERO (Xf) (Kx) I = K(Kx)II = x = ZERO f x

וכן הלאה, לכל f ו-x.

אך בעצם ניתן להסיק PRED ZERO = ZERO כבר מהמשוואה הראשונה לפי כלל צימצום אטא, ולקבל ישירות

PRED (PRED ZERO) = PRED ZERO = ZERO

וכן הלאה לכל מספר הפעלות של פעולת הקודם על ZERO, משמע עבור כל המספרים השליליים, שהם תמיד יהיו אפס תחת הקידוד הזה.

לדוגמה, נחשב את 1+1:
כיוון שהפעולה ADD פועלת על ONE ועל ONE, אנחנו רוצים לחשב את ADD ONE ONE. הדרך בתחשיב למדא להפעיל פונקציה על שני משתנים היא להפעיל אותה עליהם בזה אחר זה.
כלומר, אנחנו רוצים לחשב את

T = ADD ONE ONE

T = (λm.λn.λf.λx.mf(nfx)) (λg.λy.gy) (λr.λq.rq)

נשתמש בכלל בטא כדי לצמצם את הביטוי ככל הניתן:

T = (λn.λf.λx.(λg.λy.gy)f(nfx)) (λr.λq.rq)

T = λf.λx.(λg.λy.gy)f((λr.λq.rq)fx)

T = λf.λx.(λy.fy)((λr.λq.rq)fx)

T = λf.λx.(λy.fy)((λq.fq)x)

T = λf.λx.(λy.fy)(fx)

T = λf.λx.f(fx)

וקיבלנו TWO כמו שרצינו.

לוגיקה

את המשתנים הבוליאניים מסמנים בצורה הבאה:

• TRUE = λx.λy.x
• FALSE = λx.λy.y

היתרון של שיטה זאת היא שהביטוי הנפוץ "אם a החזר b ואם לא החזר c", שבשפות תכנות מסומן פעמים רבות כך: a?b:c, פשוט מאוד ליצוג בתחשיב למדא: abc.

כעת ניתן להגדיר קשרים ביניהם:

• IF = λa.λb.λc.abc
• NOT = λf.λx.λy.fyx
• AND = λf.λg.λx.λy.f(gxy)y
• OR = λf.λg.λx.λy.fx(gxy)

וכן ביטויים לוגיים שונים עבור ערכים אריתמטיים:

• בדיקה האם ערך הוא אפס: ISZERO = λn.n (λx.FALSE) TRUE
• בדיקה האם ערך הוא לא אפס: NONZERO = λn.n (λx.TRUE) FALSE
• קטן-שווה: LE = λn.λm.ISZERO (SUB n m)
• שוויון: EQ = λn.λm.AND (LE nm) (LE m n)

ואכן,

• NONZERO n = NOT (ISZERO n) = NOT (n (λx.FALSE) TRUE) =
• n (λx.NOT FALSE) (NOT TRUE) = n (λx.TRUE) FALSE

רקורסיה

פונקציות יכולות לפעול על עצמן, ועל כן לקבל את עצמן כארגומנט. אפשר לנצל זאת כדי להגדיר פונקציות רקורסיביות, בתבנית

<R = (λx.x x)λg.<term

כאשר <term> משתמש בהפעלה עצמית (g g) לצורך קריאה רקורסיבית. כך g מופעל על עצמו ומקבל את (ההעתק של) עצמו וכך יכול להתמש בו.

למשל, כך נוכל להגדיר את פעולת העצרת בצורה רקורסיבית:

((R = (λx.x x)λg.λn.ISZERO n ONE (MULT n ((g g) (PRED n)

(λx.x x) ידוע כ"קומבינטור U ",

U = λx.x x

את תבנית ההפעלה העצמית (g g) עצמה גם ניתן להפשיט ולזקק, עד לקבלת "קומבינטור Y ",

R = (λx.x x)λg.(λr.λn.ISZERO n ONE (MULT n (r (PRED n)))) (g g)

R = (λf.(λx.x x)λg.f (g g)) (λr.λn.ISZERO n ONE (MULT n (r (PRED n))))

זאת אומרת,

F = λr.λn.ISZERO n ONE (MULT n (r (PRED n)))

Y = λf.(λx.x x)λg.f (g g)

R = YF

כלומר,

H = λf.λg.f (g g)

Y = λf.U(Hf)

R = YF = U(HF) = HF(HF) = F(HF(HF)) = F(YF) = FR

דהיינו Y אכן מייצר נקודת שבת עבור הארגומנט שלו. וכאשר F הוא ביטוי למדא המצפה לפונקציה כארגומנט ראשון שלו להשתמש בה לצורך חישוב רקורסיבי, נקודת השבת שלו R=YF=F(YF)=FR היא אכן הפונקציה הרקורסיבית עבור F, כי הרי רקורסיה משמעותה שימוש באותה פונקציה עצמה לצורך חישוב רקורסיבי.

במילים אחרות, כאשר F מהווה ביטוי למדה לחישוב של צעד אחד לפני חישוב המשך r כלשהו, נקודת השבת שלו r=R היא החישוב הרקורסיבי R בשלמותו המבצע את מספר הצעדים הבלתי מוגבל של F,

R = FR = F(FR) = F(F(FR)) = F(F(F(...)))

לפי הצורך, כנדרש על פי ערך הפרמטר הנוסף n.

את Y ניתן גם לבטא כמחרוזת של קומבינטורים, בכמה דרכים, למשל

Y = SSI(BWB) = BU(CBU) = SSI(S(S(KS)K)(K(SII)))

בתכנות

תחשיב למדא עומד ביסודו של התכנות הפונקציונלי שבו פונקציות מקבלות פונקציות כארגומנטים ומחזירות פונקציות אחרות תוך שהן מפעילות את הארגומנטים זה על זה.

בנוסף, שפות תכנות רבות מאפשרות הגדרת פונקציה אנונימית בעזרת ביטויי למדא. למשל, בשפת פייתון ניתן להגדיר את פונקציית הזהות בצורה אנונימית כך: lambda x:x

ראו גם

• פונקציה
• לוגיקה
• כמת לוגי
• תחשיב הפרדיקטים
• תכנות פונקציונלי

לקריאה נוספת

מדיה וקבצים בנושא תחשיב למדא בוויקישיתוף

• ארנון אברון, מבוא למתמטיקה בדידה, הוצאת אוניברסיטת תל אביב
• The Lambda Calculus, Its Syntax and Semantics (Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, Volume 103). Revised Edition H.P. Barendregt, Publisher: North Holland; Revised edition (November 15, 1985)

קישורים חיצוניים

• תחשיב למדא, באתר MathWorld (באנגלית)