Venn-diagram
A Venn-diagram, vagy más elnevezéssel halmazábra, a halmazokat, azok viszonyait, méretét és műveleteit szemléltető diagram. Többnyire síkidomokat tartalmaz: köröket, téglalapokat, ellipsziseket. Leonhard Euler svájci matematikus és fizikus használta először, majd John Venn brit matematikus népszerűsítette 1880-ban.
Használják az elemi halmazelmélet tanításában, a logikában, valószínűségszámításban, statisztikában, illetve a nyelvészetben. Általában csak néhány halmaz szemléltetésére alkalmas, mivel sok egymást kölcsönösen metsző halmaz esetén az ábra elbonyolódik, vagy nem is lehetséges az összes metszetet ábrázolni.
Leírása, példák
[szerkesztés]A diagramon általában körök jelölik a halmazokat, de általában bármely zárt Jordan-görbe is a diagram részévé válhat. A görbe belseje megfelel egy adott halmaz elemeinek, külseje az adott halmazba nem tartozó elemeknek. Az alaphalmazt általában téglalap jelöli.
Halmazok számossága (mérete):
- Az egyes részekbe írt számok az adott rész számosságát (méretét) jelölik
- Ha egy részről kiderül, hogy üres, akkor besatírozzák
Halmazok viszonyai:
- Diszjunkt halmazok, mint különálló körök
- Részhalmaz, mint a tartalmazó halmaz körében levő kör
- Metsző halmazok, mint metsző körök
Az ilyen diagramokat Euler-diagramnak is nevezik.
- Ugyanezek a viszonyok kisatírozással is ábrázolhatók
Műveletek ábrázolása:
- Unió, mindkét halmaz beszínezése
- Metszet, a halmazok közös részének beszínezése
- Differencia, az A\B különbség esetén az A halmaz B-hez nem tartozó részének beszínezése
- Szimmetrikus differencia, a két különbséghalmaz uniójának beszínezése
Az ábrázolás elbonyolódása
[szerkesztés]Háromnál több egymást mind metsző halmazt nem lehet csak körökkel ábrázolni. A szimmetrikus diagramokon nem lehet minden metszetet megtalálni, ezért más módot kell találni. Maga Venn készítette az első konstrukciókat, majd A. W. F. Edwards is előállt a maga diagramjaival, amikbe visszahozta a szimmetriát.
Venn konstrukciói
[szerkesztés]
     |
Edwards konstrukciója
[szerkesztés] |
 |
 |
 |
Edwards ötlete az volt, hogy a Venn-diagramot gömbfelszínen készíti el, majd kivetíti a síkba. Az első három halmazt három egymást metsző főkör határolja, a negyediké meg úgy kanyarog, mint teniszlabdán a varrat. A visszavetítés után fogaskerék alakú halmazok keletkeznek, ahol minden egyes további halmaznak egyre több foga van.
Más tervek
[szerkesztés]Edwards Venn-diagramja homeomorf a Branko Grünbaum által készített egyre nagyobb oldalszámú sokszögeket tartalmazó diagrammal.
Smith hasonló diagramokat tervezett szinuszgörbék felhasználásával.
Lewis Carroll öt egymást mind metsző halmazra készített Venn-diagramot[forrás?].
Térbeli Venn-diagram
[szerkesztés]A halmazok kölcsönös viszonyait néha térben ábrázolják:
|
|
|
|
|
Források
[szerkesztés]- Puska helyett: Halmazok[halott link]
- I. Stewart (2004) Another Fine Math You've Got Me Into, Dover Publications Inc. ISBN 0-486-43181-9 ch4
- A.W.F. Edwards (2004) Cogwheels of the Mind: the story of Venn diagrams, Johns Hopkins University Press, Baltimore and London. ISBN 0-8018-7434-3
- John Venn (1880). „On the Diagrammatic and Mechanical Representation of Propositions and Reasonings”. Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science 10 (59), 1–18. o.
Fordítás
[szerkesztés]Ez a szócikk részben vagy egészben a Venn diagram című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
További információk
[szerkesztés]
- F. Ruskey‑M. Weston: Venn-diagramok, képek és újabb eredmények a Venn-diagramokrólDiagrammes (angolul)
- Egyszerű Venn-diagram szimuláció halmazműveletek szemléltetésére Szerzők: Kyle Siegrist & Dawn Duehring (magyarul)