Գծային ծրագրավորում

Գծային ծրագրավորում, կիրառական մաթեմատիկայի ճյուղ, որը զբաղվում է մաթեմատիկական մեթոդների և օպտիմալացման խնդիրների ալգորիթմերի մշակմամբ $n$-չափանի էվկլիդյան վեկտորական տարածության մեջ, որը սահմանափակված է գծային անհավասարումներով և հավասարումներով։

Գծային ծրագրավորումը (ԳԾ) ուռուցիկ ծրագրավորման մասնավոր դեպք է, որն էլ իր հերթին հանդիսանում է մաթեմատիկական ծրագրավորման մասնավոր դեպք։ Միաժամանակ այն հանդիսանում է ամբողջաթիվ ծրագրավորման և ոչ գծային ծրագրավորման մի շարք մեթոդների ստեղծման հիմք։ Ընդհանրացված գծային ծրագրավորում է համարվում նաև կոտորակա-գծային ծրագրավորումը։

Գծային ծրագրավորման մի շարք հատկություններ կարելի է մեկնաբանել նաև որպես բազմանկյան (բազմանիստ) հատկություններ, երկրաչափորեն ձևակերպել և ապացուցել։

Պատմություն

Տնտեսագիտության մեջ մաթեմատիկական հետազոտությունները կատարվել են դեռ 19-րդ դարում։ Մաթեմատիկական անալիզում արտադրության ընդլայնման կազմակերպումը իրականացվում էր երկրաչափական առնչությունների միջոցով՝ օգտագործելով դիֆերենցիալհաշիվների մեթոդը։ Դա հնարավորություն էր տալիս կազմել ամբողջական պատկերացում խնդիրների մասին։

Տնտեսության զարգացումը պահանջում էր քանական ցուցանիշներ, և 1920 թվականին ստեղծվեց միջոլորտային հաշվեկշիռ (ՄՈՀ)։ Այն ծառայում էր մաթեմատիկական մոդելների ստեղծման և ուսումնասիրության համար։ ՄՈՀ-ի ուսումնասիրությունները 1924-1925 թվականներին էականորեն ազդեցին ԽՍՀՄ տնտեսագետ և վիճակագիր Վ․ Վ․ Լեոնտևի աշխատանքի վրա։ Նա մշակել է արտադրության և դրա բաշխման միջճյուղային մոդելներ։

1939 թվականին Լ․ Վ․ Կանտորովիչը հրատարակեց «Արտադրության կազմակերպման և պլանավորման մաթեմատիկական մեթոդները» աշխատությունը, որտեղ ձևակերպված էին սահմանափակումներով էքստրեմումի խնդիրների նոր դաս և դրանց լուծման արդյունավետ մեթոդները՝ այդ ձևով հիմք հիմք դնելով գծային ծրագրավորման հիմունքներին։

Այսպիսի մեթոդների ուսումնասիրությունը հանգեցրեց գծային ծրագրավորման նոր ճյուղի ստեղծմանը և նոր էջ բացեց տնտեսա-մաթեմատիկական մեթոդների զարգացման մեջ։

1949 ամերիկացի մաթեմատիկոս Ջորջ Դանցիգը մշակեց գծային ծրագրավորման խնդիրների լուծման արդյունավետ մեթոդ՝ սիմպլեքս-մեթոդ։

«Ծրագրավորում» տերմինը այս դեպքում պետք է հասկանալ որպես «պլանավորում»։ Այն շարունակվել է ուսումնասիրվել 1940-ական թվականների ընթացքում Ջորջ Դանցիգի՝ գծային ծրագրավորման հիմնադիրներից մեկի կողմից, դեռ այն ժամանակ, երբ համակարգիչները չէին օգտագործվում գծային խնդիրների լուծման համար։

Ներքին կետերի մասին առաջինը հիշատակել է Ի․ Ի․ Դիկինը 1967 թվականին։

Խնդիրները

Ընդհանուր (ստանդարտ) ԳԾ խնդիր կոչվում է գծային նպատակային ֆունկցիայի մինիմումի արժեքի որոշումը :

$f(x)=\sum _{j=1}^{n}c_{j}x_{j}=c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\ldots +c_{n}x_{n}$

իսկ անհավասարությունների տեսքով սահմանափակումները կոչվում են Գծային ծրագրավորման հիմնական խնդիր

$\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}\geqslant b_{i}\quad (i=1,\;2,\;\ldots ,\;m)$,

$x_{j}\geqslant 0\quad (j=1,\;2,\;\ldots ,\;n)$.

Գծային ծրագրավորման խնդիրը կոչվում է կանոնական տեսքի, եթե հիմնական խնդրում անհավասարությունները գրված են հավասարությունների տեսքով։

$\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}=b_{i}\quad (i=1,\;2,\;\ldots ,\;m)$,

Հիմնական խնդիրը կարելի է բերել կանոնական տեսքի նոր փոփոխականների ավելացման միջոցով։

Գծային ծրագրավորման ընդհանուր տեսքի խնդիրները կարող են բերվել համարժեքորեն կանոնական և ընդհանուր տեսքի անհավասարությունները հավասարություններով փոխարինելով և հակառակը։

Խնդրում մաքսիմումի արժեքի որոշումը կարելի է հեշտորեն գտնել փոխելով $c$ գործակիցների նշանները։

Գծային ծրագրավորման երկակի խնդիրներ

Յուրաքանչյուր հետևյալ տեսքի ԳԾ խնդիր

$\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}\leq c_{i},i=1,m;$ $x_{j}\geq 0,j=1,n;$ $F(x)=\sum _{j=1}^{n}b_{j}x_{j}\to \max$

կարելի է համապասխանեցնել մեկ ուրիշ ԳԾ խնդրի հետ,որը կոչվում է երկակի խնդիր։ Ուղիղ և երկակի խնդիրների կապը այն է, որ գտնելով մեկի լուծումը՝ ուղղակիորեն կարելի է գտնել նաև մյուսինը։ Երկակի և ուղիղ խնդիրների կապը հետևյալն է՝

Ուղիղ խնդիր	Երկակի խնդիր
$\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}\leq c_{i},i=1,m$	$y_{i}\geq 0,i=1,m$
$x_{j}\geq 0,j=1,n$	$\sum _{i=1}^{m}a_{ij}y_{i}\geq b_{j},j=1,n$
$F(x)=\sum _{j=1}^{n}b_{j}x_{j}\to \max$	$T(y)=\sum _{i=1}^{m}c_{i}y_{i}\to \min$

Եթե $x$ և $y$ վեկտորները ուղիղ և երկակի խնդիրների թույլատրելի լուծումներն են, ապա $F(x)\leq T(y)$, ընդ որում հավասարությունը հաստատվում է միայն և միայն այն դեպքում, երբ $x$ և $y$ վեկտորները օպտիմալ լուծումներ են։ Եթե խնդիրներից որևէ մեկի նպատակային ֆունկցիան սահմանափակ չէ (ուղիղ խնդրի դեպքում վերևից,երկակիի դեպքում՝ ներքևից), ապա մյուս խնդրի թույլատրելի արժեքների տիրույթը դատարկ է։

Եթե $x^{*}$ և $y^{*}$ վեկտորները համապատասխանաբար ուղիղ և երկակի խնդիրների լուծումներն են,ապա տեղի ունի հետևյալ հավասարությունը՝

$x_{j}^{*}(\sum _{i=1}^{m}a_{ij}y_{i}^{*}-b_{j})=0,j=1,n;$

$y_{i}^{*}(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}^{*}-c_{i})=0,i=1,m.$

Երկակի խնդրի այս հատկությունը թույլ են տալիս կրճատել լուծման համար պահանջվող ժամանակը, եթե ստիպված ենք լինում լուծել շատ փոփոխականներով խնդիրներ։ Այդ դեպքում, լուծելով երկակի խնդիրը և գտնելով նրա հենային պլանը, կարող ենք գտնել դրան համապատասխան ուղիղ խնդրի հենային պլանը, հետևաբար նաև լուծել խնդրի լուծումը։

Գրականություն

• Абрамов Л. М., Капустин В.Ф. Математическое программирование. — Учебное пособие. — Л.: ЛГУ, 1981. — 328 с.
• Акоф Р., Сасиени М. Основы исследования операций. — Пер.с англ. В.Я.Алтаева. под ред. И.А.Ушакова. — М.: Мир, 1971. — 551 с.
• Акулич И.Л. Глава 1. Задачи линейного программирования, Глава 2. Специальные задачи линейного программирования // Математическое программирование в примерах и задачах. — М.: Высшая школа, 1986. — 319 с. — ISBN 5-06-002663-9
• Астафьев Н.Н. Бесконечные системы линейных неравенств в математическом программировании. — М.: Наука, 1991. — 134 с.
• Ашманов С.А., Тимохов А.В. Теория оптимизации в задачах и упражнениях. — М.: Наука, 1991. — 446 с.
• Гасс С. Линейное программирование. — М.: Физико-математическая литература, 1961. — 300 с.
• Давыдов Э.Г. Исследование операций. — М.: Высшая школа, 1990. — 382 с.
• Дегтярёв Ю.И. Исследование операций. — Учебник для вузов. — М.: Высшая школа, 1986. — 320 с.
• Зуховицкий С.И., Авдеева Л.И. Линейное и выпуклое программирование. — М.: Наука, 1966. — 348 с.
• Карманов В. Г. Математическое программирование. — 3-е издание. — М.: Наука, 1986. — 288 с.
• Кузнецов А.В., Сакович В.А., Холод Н.И. Высшая математика. Математическое программирование. — Минск.: Вышейшая школа, 1994. — 286 с.
• Томас Х. Кормен и др. Глава 29. Линейное программирование // Алгоритмы: построение и анализ = INTRODUCTION TO ALGORITHMS. — 2-е изд. — М.: «Вильямс», 2006. — С. 1296. — ISBN 5-8459-0857-4
• Юдин Д.Б., Гольштейн Е.Г. Линейное программирование. — М.: Наука, 1969. — 424 с.
• Данциг Джордж Бернард «Воспоминания о начале линейного программирования»

Արտաքին հղումներ

• Linear Program Solver (LiPS) — Անվճար օպտիմիզացման փաթեթ գծային և ամբողջաթիվ ծրագրավորման խնդիրների համար
• Вершик А. М. «O Л. В. Канторовиче и линейном программировании»
• Սահիկաշար գծային ծրագրավորման վերաբերյալ
• Барсов А. С. «Что такое линейное программирование Արխիվացված 2008-01-02 Wayback Machine», Гостехиздат, 1959.
• М. Н. Вялый Линейные неравенства и комбинаторика. — МЦНМО, 2003.