Teorema di Hartogs (teoria degli insiemi)

In teoria degli insiemi, il Teorema di Hartogs, dimostrato dal matematico tedesco Friedrich Hartogs, afferma che l'assioma della scelta è equivalente alla condizione che, dati due insiemi qualsiasi $A$ e $B,$ si abbia sempre

\operatorname {card} (A)\leq \operatorname {card} (B)\quad

oppure

\quad \operatorname {card} (B)\leq \operatorname {card} (A).

Questo significa che, assumendo l'assioma della scelta, tutti gli insiemi hanno cardinalità comparabile, anche se infiniti.

Dimostrazione

Dimostriamo che l'assioma della scelta implica che tutte le cardinalità sono comparabili. Siano $A$ e $B$ due insiemi e sia $(P,\leq )$ un insieme parzialmente ordinato tale che:

gli elementi di $P$ sono terne $(X,f,Y)$ ove $X\subset A,$ $Y\subset B$ e $f$ è un'iniezione da $X$ a $Y.$
la relazione d’ordine $\leq$ è la seguente: $(X,f,Y)\leq (X_{1},f_{1},Y_{1})$ se e solo se $X\subset X_{1},$ $Y\subset Y_{1}$ e $f_{1}$ ristretta a $X$ è uguale a $f$ .

Tale insieme non è vuoto in quanto l'insieme vuoto $\varnothing \subset A,$ $\varnothing \subset B$ ed esiste un'iniezione $v$ tra $\varnothing$ e $\varnothing ,$ dunque $(\varnothing ,v,\varnothing )\in (P,\leq ).$

Sia $C$ una catena di $(P,\leq )$ tale che $(X_{1},f_{1},Y_{1})\leq (X_{2},f_{2},Y_{2})\leq \ldots \leq (X_{i},f_{i},Y_{i})\leq \ldots .$ Siano

W:=X_{1}\cup X_{2}\cup \cdots \cup X_{i}\cdots =\cup _{i}X_{i},

Z:=Y_{1}\cup Y_{2}\cup \cdots \cup Y_{i}\cdots =\cup _{i}Y_{i},

e sia $g$ la funzione da $W$ a $Z$ tale che se $x\in X_{i},$ allora $g(x)=f_{i}(x).$ Tale funzione è ben definita e iniettiva, $W\subset A$ e $Z\subset B,$ quindi $(W,g,Z)\in (P,\leq ).$

La terna $(W,g,Z)$ è un maggiorante di $C$ , infatti $X_{i}\subset W$ e $Y_{i}\subset Z,$ per ogni indice $i,$ e $g$ ristretto a $X_{i}$ è uguale a $f_{i}$ per definizione di $g$ . Allora sono verificate le ipotesi del lemma di Zorn (che è equivalente all'assioma della scelta) ed esiste dunque un elemento massimale $(M,h,N).$

Dimostriamo allora che $M=A$ oppure $N=B.$ Supponiamo per assurdo che ciò sia falso, ossia che $M\neq A$ e $N\neq B.$ Si ha quindi che esistono $a\in A\setminus M$ e $b\in B\setminus N.$ Consideriamo allora $(M\cup \{a\},j,N\cup \{b\})$ , ove $j(x)=h(x)$ se $x\neq a,$ altrimenti $j(x)=b$ . La funzione $j$ è iniettiva e dunque $(M\cup \{a\},j,N\cup \{b\})\in (P,\leq ).$ Inoltre $M\subset M\cup \{a\}$ , $N\subset N\cup \{b\}$ e $j$ ristretta a $M$ è uguale a $h$ per costruzione. Di conseguenza

(M,h,N)\leq (M\cup \{a\},j,N\cup \{b\}),

ma questo è assurdo poiché $(M,h,N)$ è massimale. Ne consegue che $M=A$ oppure $N=B,$ è quindi vi è un'iniezione da $A$ in un sottoinsieme di $B$ o da $B$ in un sottoinsieme di $A$ e quindi $\operatorname {card} (A)\leq \operatorname {card} (B)$ oppure $\operatorname {card} (B)\leq \operatorname {card} (A).$