Gryno formulė

Buvo pasiūlyta šį straipsnį ar skyrių, kaip parašytą vadovėlio stiliumi, perkelti į Vikiknygas. Taip pat galite šį straipsnį pritaikyti Vikipedijai - perrašyti enciklopediniu stiliumi.

Gryno formulė nustato ryšį tarp dvilypio integralo ir kreivinio integralo antrojo tipo.

$\iint _{D}({\partial Q \over \partial x}-{\partial P \over \partial y})dxdy=\oint _{L}Pdx+Qdy.$

čia integracijos kelias išilgai $L$ yra prieš laikrodžio rodyklę.

Pavyzdžiai

• Su Gryno formule apskaičiuosime kreivinį integralą $\oint _{L}(x-y)dx+(x+y)dy,$ kur L - apskritimas $x^{2}+y^{2}=R^{2}.$

Funkcijos $P(x,y)=x-y,$ $Q(x,y)=x+y$ ir ${\partial P \over \partial y}=-1,\;{\partial Q \over \partial x}=1$ netrūkios uždarame rate $x^{2}+y^{2}=R^{2}.$ Todėl pagal Gryno teoremą turime ($\rho ^{2}=R^{2},$ $\rho =R$):

$\oint _{L}(x-y)dx+(x+y)dy=\iint _{D}[1-(-1)]dxdy=2\iint _{D}dxdy=2s=2\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{R}\rho d\rho =$ $=\int _{0}^{2\pi }\rho ^{2}|_{0}^{R}d\phi =R^{2}\int _{0}^{2\pi }d\phi =R^{2}\phi |_{0}^{2\pi }=2\pi R^{2}.$

• Taikydami Gryno formulę, apskaičiuokime kreivinį integralą

$\int _{L}xydx+(x^{2}+y^{2})dy,$ kai L - apskritimas $x^{2}+y^{2}=ax$ (a>0), apeinamas teigiama kryptimi. Kadangi skritulyje $x^{2}+y^{2}\leq ax$ funkcijos $P(x,y)=xy$ ir $Q(x,y)=x^{2}+y^{2}$ bei jų dalinės išvestinės ${\partial P \over \partial y}=x$ ir ${\partial Q \over \partial x}=2x$ yra tolydžios, tai duotajam kreiviniam integralui galima taikyti Gryno formulę. Turime: $\int _{L}xydx+(x^{2}+y^{2})dy=\iint _{D}(2x-x)dxdy=\iint _{D}xdxdy.$ Dvilypį integralą pakeisime kartotiniu polinėje koordinačių sistemoje, turėdami galvoje, kad apskritimas apeinamas teigiama kryptimi (prieš laikrodžio rodykle). Tuomet kampas $\phi$ kinta nuo $-{\pi \over 2}$ iki ${\pi \over 2}.$ Vadinasi ($x=\rho \cos \phi ,$ $\rho ^{2}=a\rho \cos \phi ,$ $\rho =a\cos \phi$), $\int _{D}xdxdy=\iint _{D}\rho ^{2}\cos \phi d\rho d\phi =\int _{-{\pi \over 2}}^{\pi \over 2}\cos \phi d\phi \int _{0}^{a\cos \phi }\rho ^{2}d\rho =\int _{-{\pi \over 2}}^{\pi \over 2}\cos \phi {\rho ^{3} \over 3}|_{0}^{a\cos \phi }d\phi =$ $={a^{3} \over 3}\int _{-{\pi \over 2}}^{\pi \over 2}\cos ^{4}\phi d\phi ={2a^{3} \over 3}\int _{0}^{\pi \over 2}\cos ^{4}\phi d\phi ={2a^{3} \over 3}\cdot {3!! \over 4!!}\cdot {\pi \over 2}={\pi a^{3} \over 8},$ kur pasinaudojome dvigubu faktorialu.

Ploto apskaičiavimas

Plotui apskaičiuoti ploksčios srities naudojamos tokios formulės: $D=\oint _{L}-ydx=\oint _{L}xdy={1 \over 2}\oint _{L}xdy-ydx.$ Jos išvedamos šitaip:

$\iint _{D}({\partial Q \over \partial x}-{\partial P \over \partial y})dxdy=\oint _{L}Pdx+Qdy.$

• Pritaikysim Gryno formulę apskaičiavimui srities D (ploksčios figūros ploto). Jei $P(x,y)=-y,$ $Q(x,y)=0.$ Tada ${\partial P \over \partial y}=-1,\;{\partial Q \over \partial x}=0.$ Pagal formulę turime:

$\iint _{D}(0+1)dxdy=\oint _{L}-ydx+0dy.$ Integralas $\iint _{D}dxdy$ lygus paaviršiui srities D , todėl, $D=\iint _{D}dxdy=-\oint _{L}ydx.$

• Sakykime, $P(x,y)=0,$ $Q(x,y)=x,$ analoginiu budu randame, kad

$D=\oint _{L}xdy.$

• Ir, pagaliau, paėmę funkcijas $P(x,y)=-{1 \over 2}y,\;Q(x,y)={1 \over 2}x,$ gauname formulę

$D=\iint _{D}({1 \over 2}+{1 \over 2})dxdy=\iint _{D}dxdy={1 \over 2}\oint _{L}xdy-ydx.$

Pavyzdžiai

• Apskaičiuosime plotą apribotą elipse ${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}=1,$ pagal formulę $D=\oint _{L}xdy.$ Panaudoję parametrinę lygtį elipsės: $x=a\cos t,$ $y=b\sin t,$ $0\leq t\leq 2\pi ,$ $dy=b\cos t,$ gauname:

$D=\oint _{L}xdy=\int _{0}^{2\pi }a\cos tb\cos tdt={ab \over 2}\int _{0}^{2\pi }(1+\cos(2t))dt={ab \over 2}(2\pi +{\sin(2t) \over 2}|_{0}^{2\pi })=\pi ab.$

Jėgos darbas

Jėgos darbas padarytas judant kreive plokštumoje apskaičiuojamas pagal formulę $A=\int _{BC}Pdx+Qdy.$ Jėgos darbas padarytas judant erdvine kreive apskaičiuojamas taip: $A=\int _{BC}Pdx+Qdy+Rdz.$

• Apskaičiuosime darbą jėgos $F(x,y)$ persikeliant materialiam taškui elipse teigiama kryptimi, jeigu jėga kiekviename taške (x; y) elipsės nukreipta į elipsės centrą ir pagal dydį lygi atstumui nuo taško (x; y) iki elipsės centro.

Pagal sąlyga, $|F(x,y)|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}};$ Jėgos F(x, y) koordinatės tokios: $P=-x,$ $Q=-y$ [ženklas "$-$" paaiškinamas tuo, kad jėga nukreipta į tašką (0; 0)]. Pagal formulę turime $A=-\oint _{L}xdx+ydy,$ kur L - elipsė $x=a\cos t,$ $y=b\sin t,$ $0\leq t\leq 2\pi .$ Todėl

$A=-\int _{0}^{2\pi }a\cos t(-a\sin t)dt+b\sin tb\cos tdt=-\int _{0}^{2\pi }(b^{2}-a^{2})\sin t\cos tdt=$ $={a^{2}-b^{2} \over 2}\int _{0}^{2\pi }\sin(2t)dt={a^{2}-b^{2} \over 4}(-\cos(2t))|_{0}^{2\pi }=0.$

Jei t keistusi nuo 0 iki ${\pi \over 2},$ integralas butu lygus ${a^{2}-b^{2} \over 4}(-\cos(2t))|_{0}^{\pi \over 2}={a^{2}-b^{2} \over 2}.$

Taip pat skaitykite

• Antrojo tipo kreivinis integralas
• Pilnųjų diferencialų integravimas
• Apibrėžtinis integralas