Unitarioji matrica

Unitarioji matrica – kompleksinė kvadratinė matrica U, kurios kompleksiškai jungtinė ir transponuota matrica U^∗ yra jai atvirkštinė.

$U^{*}U=UU^{*}=I,$

čia I yra vienetinė matrica. Fizikoje, kvantinėje mechanikoje Ermitinė jungtinė matrica paprasta žymima durklo pavidalo simboliu †. Tuomet ankstesnė lygybė užrašoma

$U^{\dagger }U=UU^{\dagger }=I.$

Unitariosios matricos analogas realiųjų skaičių aibėje yra ortogonalioji matrica. Unitariosios matricos svarbios kvantinėje mechanikoje, kadangi nekeičia normos.

Savybės

Baigtinio rango unitarioji matrica $U$:

• Bet kokiems dviem kompleksiniams vektoriams $x$ ir $y$, daugyba iš $U$ nekeičia skaliarinės sandaugos; tai yra, $Ux\cdot Uy=x\cdot y$.
• $U$ yra normalioji matrica ($A^{*}A=AA^{*}$. Skirtingai nuo unitariosios matricos ši sandauga nebūtinai lygi vienetinei matricai)
• $U$ yra diagonalizuojama matrica, tai yra $U$ gali būti išskaidyta

$U=VDV^{*}\;$

čia $V$ yra unitarioji, o $D$ yra diagonalioji ir kartu unitarioji matrica.

• $\left|\mathrm {det} (U)\right|=1$.
• Tikriniai vektoriai visada ortogonalūs.
• $U$ gali būti užrašyta U = exp(iH) , kur $e$ žymi matricos eksponentę, $i$ yra menamasis vienetas, o $H$ yra Ermito matrica.

Matricos $X$ eksponentė gali būti parašyta:

$\exp(X)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {X^{k}}{k!}}.$

• Tiek unitariosios matricos stulpeliai, tiek eilutės sudaro ortonormuotą (ortogonalią ir normuotą) bazę.
• Matricos tikrinės vertės išsidėsčiusios ant vienetinio apskritimo.

Bet kokiam neneigiamam sveikam skaičiui n, aibė visų n x n unitariųjų matricų daugybos atžvilgiu sudaro grupę, vadinamą unitariąja grupe U(n).

Bet kuri kvadratinė matrica su vienetine Euklidine norma yra dviejų unitarinių matricų vidurkis.

Jei unitariosios matricos $A$ determinantas lygus vienetui, ji vadinama specialiąja unitariąja matrica.

Aibė visų specialiųjų unitariųjų matricų, kurių rangas $n$ daugybos atžvilgiu sudaro specialiąją unitariąją grupę, žymimą $SU(n)$. Grupės $SU(2)$ ir $SU(3)$ vaidina svarbų vaidmenį kvantinėje mechanikoje ir elementariųjų dalelių fizikoje.