Idempotentność
Idempotentność (łac. idempotent-: idem, „taki sam, równy” i potens, „mieć moc, siłę”, od potis, pote, „móc”; spokr. z gr. πόσις posis, „małżonek”, sanskr. पित pati, „mistrz, małżonek”) – w matematyce i informatyce własność pewnych operacji, która pozwala na ich wielokrotne stosowanie bez zmiany wyniku.
Pojęcie idempotentności pojawia się wielokrotnie w algebrze (w szczególności w teorii rzutów i operatorów domknięcia) oraz programowaniu funkcyjnym (w którym ma ono związek z przejrzystością referencyjną).
Termin wprowadził Benjamin Peirce[1] w kontekście elementów algebry, które są niezmiennicze ze względu na potęgowanie.
Istnieje kilka znaczeń idempotentności w zależności od pojęcia, do którego się odnoszą:
- Działanie jednoargumentowe (lub funkcja) jest idempotentne, jeżeli zastosowana dwukrotnie daje ten sam wynik, co zastosowana jednokrotnie. Przykładowo funkcja wartości bezwzględnej jest idempotentna jako funkcja zbioru liczb rzeczywistych w siebie:
- Działanie dwuargumentowe jest idempotentne, gdy zastosowane do dwóch równych wartości daje ją w wyniku. Przykładem może być działanie brania maksimum dwóch wartości, które jest idempotentne:
- Dla danego działania dwuargumentowego elementem idempotentnym, lub krótko idempotentem, względem tego działania to wartość, dla która dana na obu argumentach zostaje zwrócona jako wynik. Przykładem jest liczba będąca idempotentem mnożenia:
Definicje
Działania jednoargumentowe
Działanie jednoargumentowe tzn. funkcję danego zbioru w siebie, nazywa się idempotentną, jeśli dla każdego zachodzi
W szczególności funkcja tożsamościowa określona wzorem jest idempotentna, podobnie jak funkcja stała gdzie dana wzorem
Ważną klasą funkcji idempotentych są rzuty w przestrzeni liniowej. Przykładowo rzutem jest funkcja dana wzorem która rzutuje dowolny punkt przestrzeni trójwymiarowej na punkt płaszczyzny gdyż trzecia współrzędna jest równa
Działanie jednoargumentowe jest idempotentne wtedy i tylko wtedy, gdy odwzorowuje wszystkie elementy zbioru na punkty stałe. Dla zbioru -elementowego istnieje
funkcji idempotentnych, gdzie
jest liczbą funkcji idempotentnych o dokładnie punktach stałych. Początkowymi wyrazami ciągu liczby funkcji idempotentnych danego przez powyższą sumę są: 1, 1, 3, 10, 41, 196, 1057, 6322, 41393, …[2]
Działania dwuargumentowe
Dwuargumentowe działanie na zbiorze nazywa się idempotentnym, jeżeli dla wszystkich zachodzi
Przykładami działań idempotentnych mogą być działania sumy zbiorów i iloczynu zbiorów, a także działania koniunkcji logicznej i dysjunkcji logicznej oraz, w ogólności, działania kresu dolnego i górnego w kratach.
Element nazywa się idempotentnym lub idempotentem, jeżeli zachodzi dla niego równość
W szczególności idempotentem działania jest jego element neutralny.
Powiązania
Powyższe trzy pojęcia można przedstawić następująco:
- Twierdzenie, iż działanie dwuargumentowe na zbiorze jest idempotentne jest równoważne żądaniu, by każdy element zbioru był idempotenty względem
- Własność definiująca idempotentności jednoargumentowej można zapisać za pomocą operacji złożenia funkcji w następujący sposób: W ten sposób twierdzenie, że jest jednoargumentowym działaniem idempotentnym na jest równoważne stwierdzeniu, że jest elementem idempotentnym działania na zbiorze funkcji
Przykłady
Jak wspomniano wyżej, przekształcenia tożsamościowe i stałe są idempotentne. Idempotentne są również funkcje wartości bezwzględnej zmiennej rzeczywistej i zespolonej oraz funkcja podłogi i sufitu zmiennej rzeczywistej.
Funkcja przypisująca każdemu podzbiorowi przestrzeni topologicznej jej domknięcie jest idempotentna na zbiorze potęgowym zbioru Jest to przykład operatora domknięcia; własność idempotentności cechuje wszystkie operatory domknięcia. Idempotentne są również działania wnętrza oraz k-rozszerzenia.
Języki formalne
Operatory gwiazdka i plus Kleene'ego wykorzystywane w językach formalnych do wyrażania powtórzeń są idempotente.
Idempotentne elementy pierścienia
Element idempotentny pierścienia to, z definicji, element idempotentny względem mnożenia w pierścieniu[3]. Innymi słowy element jest idempotentny, gdy W zbiorze idempotentów pierścienia można zdać porządek częściowy w następujący sposób: jeśli i są idempotentami, to
W porządku tym jest najmniejszym, a – największym idempotentem.
Dwa idempotenty nazywa się ortogonalnymi i oznacza jeżeli Wówczas również jest idempotentny i zachodzi oraz
Jeśli jest idempotentem pierścienia to
- jest nim także wówczas
- pierścień również jest pierścieniem z jedynką
- nazywa się go centralnym, o ile tylko dla wszystkich zachodzi wówczas jest pierścieniem z jedynką
Idempotenty centralne są blisko związane z rozkładami na sumy proste pierścieni. Jeśli
to jedynki pierścieni są parami ortogonalnymi idempotentami centralnymi w których suma jest równa Odwrotnie, dla danych parami ortogonalnych idempotentów centralnych sumujących się do zachodzi
W szczególności idempotent centralny daje więc rozkład na sumę prostą
Dowolny idempotent różny od i jest dzielnikiem zera, gdyż W związku z tym dziedziny całkowitości i pierścienie z dzieleniem nie mają takich idempotentów. Pierścienie lokalne również nie mają tego rodzaju idempotentów, ale z innego powodu: jedynym idempotentem zawartym w radykale Jacobsona pierścienia jest Istnieje katenoida idempotentów w pierścieniu kokwaternionów.
Pierścienie, których wszystkie elementy są idempotentne nazywa się pierścieniami Boole'a. Można pokazać, że w każdym takim pierścieniu mnożenie jest przemienne, a każdy element swoim elementem przeciwnym.
Związek z inwolucjami
Jeśli jest idempotentem, to jest inwolucją.
Jeśli jest idempotentem, to jest idempotentem i są one swoimi odwrotnościami: stąd jeśli jest odwracalna w danym pierścieniu, to idempotentny i inwolucje są pojęciami równoważnymi.
Więcej, jeżeli jest inwolucją, to i są idempotentami ortogonalnymi odpowiadającymi i
Informatyka
W informatyce idempotentność jest własnością operacji pozwalającą na jej wielokrotne powtarzanie bez zmiany wyniku lub powodowania błędu. Taką cechę ma np. operacja czytania.
Przykłady
Programista aplikacji internetowych powinien zadbać o idempotentność wykonywanych przez serwer operacji, nie dopuszczając np. do kolejnego zakupu identycznego wyrobu w sklepie internetowym po odświeżeniu strony. Jedną z metod jest wprowadzenie tokenu synchronizującego, który jest inkrementowany przy każdym zapytaniu od klienta i np. jako ciasteczko przesyłany wraz z odpowiedzią do klienta. Jeśli token otrzymany od klienta jest różny od tokena zapamiętanego na serwerze, oznacza to że nastąpiło rozsynchronizowanie, np. klient odświeżył stronę.
Standardowo uważa się metody GET i HEAD protokołu HTTP za idempotentne, więc przeglądarki internetowe nie wyświetlają żadnego ostrzeżenia w przypadku odświeżania strony za pomocą metody GET. Stąd poleca się implementację operacji zmieniających stan sesji klienta za pomocą metody POST.
Zobacz też
Bibliografia
- Idempotent - Wolfram Mathworld. [dostęp 9 lutego 2009]. (ang.).
- Bryan Basham, Kathy Sierra, Bert Bates: Head First Servlets & JSP. Helion, 2005. ISBN 83-7361-810-4.
- Deepak Alur, John Crupi, Dan Malks: Core J2EE Wzorce projektowe. Wyd. 2. Helion, 2004. ISBN 83-7361-344-7.
- Peirce, B.. Linear Associative Algebra. 1870.
- Milies, César Polcino; Sehgal, Sudarshan K. An introduction to group rings. Algebras and applications, Tom 1. Springer, 2002. ISBN 9781402002380
- Lang, Serge (1993), Algebra (wyd. III), Reading, Mass.: Addison-Wesley Pub. Co., ISBN 978-0-201-55540-0, s. 443
- Michiel Hazewinkel, Nadiya Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna Gubareni, Vladimir V. Kirichenko. Algebras, rings and modules. Tom 1. 2004. Springer, 2004. ISBN 1402026900