Półpierścień

Półpierścień – struktura algebraiczna podobna do pierścienia, która jednak nie musi być grupą względem dodawania. Oznacza to, że elementy półpierścienia nie muszą mieć elementu przeciwnego do siebie.

Definicja

Półpierścień jest to zbiór R z ustalonymi działaniami + i · nazywanymi odpowiednio dodawaniem i mnożeniem, spełniającymi:

1. $(R,+)$ jest półgrupą przemienną z elementem neutralnym 0:
   1. $(a+b)+c=a+(b+c)$
   2. $0+a=a+0=a$
   3. $a+b=b+a$
2. $(R,\cdot )$ jest półgrupą z elementem neutralnym 1:
   1. $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$
   2. $1\cdot a=a\cdot 1=a$
3. Mnożenie jest rozdzielne względem dodawania:
   1. $a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$
   2. $(a+b)\cdot c=(a\cdot c)+(b\cdot c)$
4. Mnożenie elementów R przez 0 daje 0:
   1. $0\cdot a=a\cdot 0=0$

Ostatni z powyższych aksjomatów jest pomijany w definicji pierścienia, ponieważ wynika z wcześniejszych aksjomatów pierścienia. Tutaj jednak jest on niezbędny.

Półpierścień jest więc przemienną półgrupą względem dodawanie i niekoniecznie przemienną półgrupą względem mnożenia. W szczególności elementy w półpierścieniu nie muszą mieć elementów przeciwnych.

Symbol mnożenia ( · ) jest zwykle pomijany w zapisie. Przykładowo: a·b może być zapisane jako ab. Stosowana jest też kolejność wykonywania działań, według której mnożenie ( · ) wykonywane jest przed dodawaniem (+).

Półpierścień przemienny jest to półpierścień, w którym mnożenie jest przemienne. Półpierścień idempotentny jest to półpierścień, w którym dodawanie jest idempotentne (czyli a+a=a).

Bibliografia

• François Baccelli, Guy Cohen, Geert Jan Olsder, Jean-Pierre Quadrat, Synchronization and Linearity (online version), Wiley, 1992, ISBN 0-471-93609-X
• Golan, Jonathan S., Semirings and their applications. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1999. xii+381 pp. ISBN 0-7923-5786-8

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Semiring, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-03-07].
• Semi-ring (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-03-25].