Paradoks Allais

Paradoks Allais (ang. Allais paradox) to eksperyment zaproponowany w 1953 roku przez ekonomistę francuskiego, laureata Nagrody Nobla, Maurice'a Allais w celu podważenia przewidywań teorii oczekiwanej użyteczności.

Sformułowanie problemu

Eksperyment zaproponowany przez Allais składa się z dwóch loterii opisanych w tabeli poniżej:

Loteria 1				Loteria 2
Opcja 1A		Opcja 1B		Opcja 2A		Opcja 2B
Wygrana	Prawdopodobieństwo	Wygrana	Prawdopodobieństwo	Wygrana	Prawdopodobieństwo	Wygrana	Prawdopodobieństwo
1 milion złotych	100%	1 milion złotych	89%	Nic	89%	Nic	90%
		Nic	1%	1 milion złotych	11%
		5 milionów złotych	10%			5 milionów złotych	10%

Mając do wyboru opcję 1A i 1B większość ludzi wybiera opcję 1A. Natomiast mając do wyboru opcje 2A i 2B większość ludzi wybiera opcję 2B, co jest sprzeczne z teorią oczekiwanej użyteczności. W loterii 1. możliwość wygrania 5 milionów jest niedostateczna w porównaniu z pewną wygraną w wysokości 1 miliona, aby skłonić gracza do wybrania opcji 1B. Rzecz ma się inaczej w przypadku loterii 2., gdzie różnica prawdopodobieństwa wygranej między dwoma opcjami jest stosunkowo niewielka, co skłania uczestników eksperymentu do wybrania opcji 2B, gdzie wygrana jest pięciokrotnie wyższa.

Nieco bardziej formalnie, w obu loteriach gracz dostaje stałą kwotę z prawdopodobieństwem 89%: 1 milion złotych w loterii 1. i nic w loterii 2. Zgodnie z teorią oczekiwanej użyteczności, taka stała kwota nie powinna mieć znaczenia dla wyboru między loteriami. Po odrzuceniu tej kwoty, pozostałe 11% w obu eksperymentach jest taką samą loterią, w której można wygrać 5 milionów złotych z prawdopodobieństwem 10% i nic z prawdopodobieństwem 1%. A zatem zgodnie z teorią oczekiwanej użyteczności decydent powinien wybierać tę samą opcję (A lub B) w obu loteriach.

Matematyczne wyprowadzenie sprzeczności

Jeżeli U(x) jest funkcją użyteczności, wówczas:

$1,00\cdot U(1m)>0,89\cdot U(1m)+0,01\cdot U(0)+0,10\cdot U(5m)$

co wynika z faktu, że decydent woli opcję 1A niż opcję 1B. Podobnie:

$0,89\cdot U(0)+0,11\cdot U(1m)<0,90\cdot U(0)+0,10\cdot U(5m)$

co wynika z faktu, że decydent woli opcję 2B niż 2A. Drugą nierówność można przekształcić w następujący sposób:

$0,11\cdot U(1m)<0,01\cdot U(0)+0,10\cdot U(5m)$

$1,00\cdot U(1m)-0,89\cdot U(1m)<0,01\cdot U(0)+0,10\cdot U(5m)$

$1,00\cdot U(1m)<0,89\cdot U(1m)+0,01\cdot U(0)+0,10\cdot U(5m)$

co stoi w sprzeczności z pierwszą nierównością.

Zobacz też

• Paradoks Ellsberga

Bibliografia

• Maurice Allais. Le comportement de l’homme rationnel devant le risque: critique des postulats et axiomes de l’école Américaine. „Econometrica”. 21, s. 503–546, 1953. 

Linki zewnętrzne

• (pl) Behawioralna ekonomia finansowa Narodowy Bank Polski
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Allais Paradox, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-13]  (ang.).