Proporcja (arytmetyka)

Proporcja – równość dwóch stosunków postaci

{\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}

lub (inny zapis)

a\ :\ b=c\ :\ d.

W zapisie tym a i d nazywamy wyrazami skrajnymi, b i c – środkowymi.

Podstawowa własność proporcji mówi, że iloczyn wyrazów skrajnych jest równy iloczynowi wyrazów środkowych:

ad=bc.

Reguła trzech

Jeśli dane są trzy wyrazy w proporcji, czwarty można wyliczyć posługując się wzorami:

a={\frac {bc}{d}},\qquad b={\frac {ad}{c}},\qquad c={\frac {ad}{b}},\qquad d={\frac {bc}{a}}.

Wzory te znane są jako reguła trzech. W Europie weszły do użytku w XV-XVII wieku w praktyce kupieckiej.

Proporcje pochodne

Z równania proporcji wynikają także inne proporcje: ${\tfrac {a}{c}}={\tfrac {b}{d}},\quad {}$ ${\tfrac {d}{b}}={\tfrac {c}{a}},\quad {}$ ${\tfrac {a+b}{b}}={\tfrac {c+d}{d}},\quad {}$ ${\tfrac {a-b}{b}}={\tfrac {c-d}{d}},\quad {}$ ${\tfrac {a+c}{b+d}}={\tfrac {a}{b}},\quad {}$ ${\tfrac {a-c}{b-d}}={\tfrac {a}{b}},\quad {}$ ${\tfrac {a+c}{b+d}}={\tfrac {c}{d}},\quad {}$ ${\tfrac {a-c}{b-d}}={\tfrac {c}{d}},\quad {}$ ${\tfrac {a+b}{a-b}}={\tfrac {c+d}{c-d}},\quad {}$ ${\tfrac {a-b}{a+b}}={\tfrac {c-d}{c+d}},\quad {}$ prawdziwe pod warunkiem, że dane wyrażenie ma sens (w mianowniku któregoś ułamka nie otrzymamy 0).

Proporcja harmoniczna

Proporcja postaci

{\frac {a}{b}}={\frac {b}{a-b}}

jest nazywana proporcją harmoniczną. Rozkład danej liczby a na dwa składniki: b oraz a – b zgodnie z regułą proporcji harmonicznej nazywa się złotym podziałem lub podziałem harmonicznym.