Relacja zwrotna

Relacja zwrotna – abstrakcyjna relacja, w której każdy element zbioru jest w relacji sam z sobą.

Formalnie: relację dwuczłonową $\varrho \subseteq X\times X$ nazywa się zwrotną, gdy

$\forall _{x\in X}\;(x\ \varrho \ x).$

Zwrotność jest jedną z definiujących cech praporządków, w tym relacji równoważności i częściowych porządków (skierowań).

Relacja przeciwzwrotna – relacja, w której żaden element zbioru nie jest w relacji sam z sobą.

Formalnie: relację dwuczłonową $\varrho \subseteq X\times X$ nazywa się przeciwzwrotną, gdy

$\forall _{x\in X}\ \lnot (x\ \varrho \ x).$

Przykłady

Relacje zwrotne:

• przecinanie się zbiorów niepustych,
• przemienność (komutacja) funkcji w danym zbiorze (działań jednoargumentowych) lub macierzy kwadratowych,
• liniowa zależność wektorów,
• podgrupa normalna to przykład relacji zwrotnej, która nie jest ani symetryczna, ani przechodnia.

Relacje przeciwzwrotne:

• relacja większości w zbiorze liczb rzeczywistych,
• ścisłe zawieranie (ścisła inkluzja) zbiorów,
• prostopadłość prostych,
• rozłączność zbiorów niepustych,
• liniowa niezależność niezerowych wektorów,
• bycie rodzicem lub przodkiem, dzieckiem lub potomkiem, rodzeństwem, małżonkiem.

Relacje ani zwrotne, ani przeciwzwrotne:

• podzielność liczb naturalnych z zerem – nie jest zwrotna, ponieważ zero nie dzieli siebie samej (ani żadnej innej liczby); nie jest też przeciwzwrotna, bo dalsze liczby naturalne już dzielą siebie same;
• względna pierwszość liczb naturalnych – nie jest zwrotna, ponieważ 2 nie jest względnie pierwsza ze sobą; nie jest też przeciwzwrotna, bo 1 jest już względnie pierwsza ze sobą samą.
• Biorąc relację $\varrho$ określoną na zbiorze liczb naturalnych następująco: $n\ \varrho \ m$ wtedy i tylko wtedy, gdy $n+m+1$ jest liczbą pierwszą. Relacja $\varrho$ nie jest zwrotna i nie jest przeciwzwrotna, ponieważ przykładowo $\lnot (10\ \varrho \ 10)$ (co dowodzi, że nie jest zwrotna, ponieważ $10+10+1=21=3\cdot 7$) oraz $2\ \varrho \ 2$ (nie jest przeciwzwrotna, ponieważ $2+2+1=5$).
• Rozdzielność działania – nie jest zwrotna, ponieważ dodawanie nie jest rozdzielne względem siebie samego; w ogólności a+(b+c) ≠ (a+b)+(a+c). Nie jest też przeciwzwrotna, ponieważ suma zbiorów jest już samorozdzielna: $A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup (A\cup C)$.

Bibliografia

• Wojciech Guzicki, Piotr Zakrzewski: Wykłady ze wstępu do matematyki. Wprowadzenie do teorii mnogości. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2005, s. 155. ISBN 83-01-14415-7.