Twierdzenie Riesza-Skorochoda

Twierdzenie Riesza-Skorochoda – twierdzenie z pogranicza teorii miary i analizy funkcjonalnej, postulujące, że dla nieujemnego funkcjonału liniowego, spełniającego warunek Skorochoda, istnieje dokładnie jedna miara, po której całka jest tym funkcjonałem.

Ustalenia wstępne

Ustalmy przestrzeń metryczną $(X,\varrho )$ i niech:

${\mathcal {B}}(X)$ – σ-ciało wszystkich podzbiorów borelowskich przestrzeni $X,$

$C(X)$ – przestrzeń wszystkich ciągłych i ograniczonych odwzorowań przestrzeni $X$ w $\mathbb {R}$ z normą supremum.

Funkcjonał liniowy $\varphi \colon C(X)\to \mathbb {R}$ nazywamy nieujemnym, gdy $\varphi (f)\geqslant 0$ dla każdej ciągłej i ograniczonej funkcji $f\colon X\to [0,\infty ).$

Uwagi

• Każdy nieujemny funkcjonał liniowy $\varphi \colon C(X)\to \mathbb {R}$ jest ciągły, $|\varphi (f)|\leqslant \varphi (|f|)$ oraz $\|\varphi \|=\varphi (\mathbf {1} _{X}).$
• Jeżeli $\mu \colon {\mathcal {B}}(X)\to [0,\infty ]$ jest miarą skończoną, to funkcjonał $\varphi \colon C(X)\to \mathbb {R}$ dany wzorem

$\varphi (f)=\int \limits _{X}fd\mu$

jest liniowy i nieujemny, a jeżeli przestrzeń $(X,\varrho )$ jest przestrzenią polską, to spełniony jest:

Warunek Skorochoda

Dla każdego $\varepsilon >0$ istnieje taki zbiór zwarty $K\subset X,$ że

$\forall _{f\in C(X)}[f|_{K}=0\Rightarrow |\varphi (f)|\leqslant \varepsilon \|f\|].$

Twierdzenie Riesza-Skorochoda

Jeżeli nieujemny funkcjonał liniowy $\varphi \colon C(X)\to \mathbb {R}$ spełnia warunek Skorochoda, to istnieje dokładnie jedna taka miara $\mu \colon {\mathcal {B}}(X)\to [0,\infty ),$ że

$\varphi (f)=\int \limits _{X}fd\mu$ dla $f\in C(X).$

Wniosek

Dla każdego ciągłego funkcjonału liniowego $\varphi \colon C(X)\to \mathbb {R}$ istnieje dokładnie jedna taka σ-addytywna funkcja zbiorów $\nu \colon {\mathcal {B}}(X)\to \mathbb {R} ,$ że

$\varphi (f)=\int \limits _{X}fd\nu$ dla $f\in C(X).$