Bola (matemática)

Em matemática, uma bola é o espaço interior a uma esfera. Ela pode ser tanto uma bola fechada (incluindo os pontos de fronteira) ou pode ser uma bola aberta (excluindo-os).

Uma bola em $\mathbb {R} ^{3}$ é o espaço interior a uma esfera

Estes conceitos são definidos não apenas no espaço euclidiano tridimensional mas também em dimensões menores e maiores, e para espaços métricos em geral. Uma bola no plano euclidiano, por exemplo, é a mesma coisa que um círculo, a área limitada por uma circunferência.

Nos contextos matemáticos em que o termo bola é usado, assume-se geralmente que uma esfera consiste somente dos pontos de fronteira (por exemplo, uma superfície esférica no espaço tridimensional). Em outros contextos, tais como a geometria euclidiana e situações informais, algumas vezes o termo esfera se refere à bola como um todo.

Bolas em espaços métricos

Num espaço métrico $(X,d)\,\!$, a bola aberta de raio $\delta \,\!$ centrada num ponto $x\,\!$ é o conjunto de pontos cuja distância a $x\,\!$ é inferior a $\delta \,\!$, isto é, $B(x,\delta )=\{y\in X:d(x,y)<\delta \}\,\!$;

A bola fechada de raio $\delta \,\!$ centrada num ponto $x\,\!$ é o conjunto de pontos à distância de $x\,\!$ não superior a $\delta \,\!$, isto é, $B(x,\delta )=\{y\in X:d(x,y)\leq \delta \}\,\!$.

Ou seja, a diferença entre a bola aberta e a fechada é que na fechada os pontos de fronteira estão incluídos.

Exemplos

Exemplos de bolas em $\mathbb {R} ^{2}$ nas normas $\|{\boldsymbol {x}}\|_{1}$, $\|{\boldsymbol {x}}\|_{2}$ e $\|{\boldsymbol {x}}\|_{\infty }$

• Em $\mathbb {R}$, uma bola é um intervalo.
• Em $\mathbb {R} ^{2}$, uma bola é um círculo. Também se utiliza o termo "disco" neste caso.
• Em $\mathbb {R} ^{3}$, uma bola é o espaço interior a uma esfera.
• Qualquer espaço vetorial normado é um espaço métrico fazendo d(x,y) igual à norma de (x-y). Nesse caso a B(a,r) vai ser o conjunto de vetores u que satisfazem norma de (a-u) menor que r.
• Em $\mathbb {R} ^{2}$ com a métrica $d((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))=\|(x_{1},y_{1})-(x_{2},y_{2})\|_{\infty }={\mbox{max}}(|x_{1}-x_{2}|,|y_{1}-y_{2}|)$, uma bola é um quadrado.
• Em $\mathbb {R} ^{2}$ com a métrica $d((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))=\|(x_{1},y_{1})-(x_{2},y_{2})\|_{1}=|x_{2}-x_{1}|+|y_{2}-y_{1}|$, uma bola é um losango.
• Toda bola no espaço métrico é uma vizinhança no espaço topológico gerado pelo espaço métrico. Reciprocamente, toda vizinhança de um ponto contém uma bola centrada neste ponto.

Propriedades

Em qualquer espaço métrico $(X,d)\,\!$,

• Toda bola aberta é um aberto de X.
• Toda bola fechada é um fechado de X.
• Um subconjunto é limitado se, e somente se, está contido em alguma bola.

No $\mathbb {R} ^{n}$ com qualquer norma, todas bolas são convexas, sejam abertas ou fechadas.

Esferas e Bolas Unitárias no espaço Euclidiano

No Espaço Euclidiano n dimensional, a esfera unitária é um conjunto de pontos $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ que satisfaz a equação

$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=1$

e a bola fechada unitária é o conjunto de pontos que satisfaz a inequação

$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\leq 1.$

Fórmulas de área e volume

O volume de uma bola unitária n-dimensional no Espaço euclideano, que denotamos V_n, pode ser expressa em termos da função gama por

$V_{n}={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma (1+n/2)}}={\begin{cases}{\pi ^{n/2}}/{(n/2)!}&\mathrm {se~} n\geq 0\mathrm {~e~par,} \\~\\{\pi ^{\lfloor n/2\rfloor }2^{\lceil n/2\rceil }}/{n!!}&\mathrm {se~} n\geq 0\mathrm {~e~impar,} \end{cases}}$

onde n!! é o duplo fatorial.

A hipervolume da esfera unitária (n<meta typeof="mw:DiffMarker">–1)-dimensional (i.e., a "área" da superfície de uma bola n-dimensional), que denotamos por A_n, pode ser expressa da forma

$A_{n}=nV_{n}={\frac {n\pi ^{n/2}}{\Gamma (1+n/2)}}={\frac {2\pi ^{n/2}}{\Gamma (n/2)}}\,,$

onde a última igualdade vale para n > 0.

As áreas de superfícies e os volumes para alguns valores de n são dados abaixo:

$n$	$A_{n}$ (área da superfície)		$V_{n}$ (volume)
0	$0(1/0!)\pi ^{0}$	0	$(1/0!)\pi ^{0}$	1
1	$1(2^{1}/1!!)\pi ^{0}$	2	$(2^{1}/1!!)\pi ^{0}$	2
2	$2(1/1!)\pi ^{1}=2\pi$	6.283	$(1/1!)\pi ^{1}=\pi$	3.141
3	$3(2^{2}/3!!)\pi ^{1}=4\pi$	12.57	$(2^{2}/3!!)\pi ^{1}=(4/3)\pi$	4.189
4	$4(1/2!)\pi ^{2}=2\pi ^{2}$	19.74	$(1/2!)\pi ^{2}=(1/2)\pi ^{2}$	4.935
5	$5(2^{3}/5!!)\pi ^{2}=(8/3)\pi ^{2}$	26.32	$(2^{3}/5!!)\pi ^{2}=(8/15)\pi ^{2}$	5.264
6	$6(1/3!)\pi ^{3}=\pi ^{3}$	31.01	$(1/3!)\pi ^{3}=(1/6)\pi ^{3}$	5.168
7	$7(2^{4}/7!!)\pi ^{3}=(16/15)\pi ^{3}$	33.07	$(2^{4}/7!!)\pi ^{3}=(16/105)\pi ^{3}$	4.725
8	$8(1/4!)\pi ^{4}=(1/3)\pi ^{4}$	32.47	$(1/4!)\pi ^{4}=(1/24)\pi ^{4}$	4.059
9	$9(2^{5}/9!!)\pi ^{4}=(32/105)\pi ^{4}$	29.69	$(2^{5}/9!!)\pi ^{4}=(32/945)\pi ^{4}$	3.299
10	$10(1/5!)\pi ^{5}=(1/12)\pi ^{5}$	25.50	$(1/5!)\pi ^{5}=(1/120)\pi ^{5}$	2.550

onde os decimais para n ≥ 2 são arredondados na precisão que são apresentados.

Recursão

Os valores de A_n satisfazem a recursão:

$A_{0}=0$

$A_{1}=2$

$A_{2}=2\pi$

$A_{n}={\frac {2\pi }{n-2}}A_{n-2}$ para $n>2$.

Os valores de V_n satisfazem a recursão:

$V_{0}=1$

$V_{1}=2$

$V_{n}={\frac {2\pi }{n}}V_{n-2}$ para $n>1$.

Dimensão Fracional

Ver artigo principal: Medida de Hausdorff

As fórmulas para A_n e V_n podem ser calculadas para qualquer real n ≥ 0.

hipervolume da esféra (x–1)-dimensional (isto é, a "área" da superfície da bola unitária x-dimensional) como uma função contínua de x

Volume da Bola em x- dimensional como uma função contínua de x

Outros raios

Ver artigo principal: Esfera

A área da superfície de uma esfera (n–1)-dimensional com raio r é A_n rⁿ⁻¹ e o volume de uma bola n-dimensional com raio r é V_n rⁿ. Particularmente, a área é A = 4π r² para a superfície de uma bola tridimensional de raio r. O Volume é V = 4π r³ / 3 para a bola tridimensional de raio r.

Bibliografia

• Lima, Elon Lages (1981). Curso de análise, Volume 2. Instituto de Matemática Pura e Aplicada. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e Aplicada