Conectivo lógico bicondicional

Na Lógica e Matemática, a Lógica bicondicional (também conhecida como bicondicional material) é o Conectivo lógico de duas proposições afirmando "p se e somente se q", onde q é uma Hipótese (ou antecedente) e p é um conclusão (ou consequente).^[1] Isso é frequentemente abreviado p sse q. O operador é denotado usando uma seta de dupla implicação (↔), a prefixed E (Epq), um sinal de igualdade (=),um sinal de equivalência (≡), ou EQV. Isso é logicamente equivalente a (p → q) ∧ (q → p), ou o XNOR (nor exclusivo) operador da Álgebra_booleana.Isto é equivalente a "(não p ou q) e (não q ou p)". Também é logicamente equivalente a "(p e q) ou (não p e não q)",significando "os dois ou nenhum". A única diferença paraCondicional_material é o caso no qual a hipótese é falsa mas a conclusão é verdadeira. Neste caso, na condicional, o resultado é verdadeiro, contudo, na bicondicional o resultado é falso. Na interpretação conceitual, a = b significa "Todos os a 's são b 's e todos os b 's são a 's"; Em outras palavras, os conjuntos a e b coincidem: eles são idênticos. Isso não significa que todos os conceitos têm o mesmo significado. Exemplos: "triângulo" e "trilateral", "triângulo equiangular" e "triângulo equilátero". O antecedente é o "sujeito" e o consequente é o e predicado de uma afirmativa/ Proposição universal.

Na interpretação proposicional, a ⇔ b significa que a implica b e b implica a; em outras palavras, que as proposições são equivalentes, o que é dizer, ambas são verdadeiras ou falsas ao mesmo tempo. Isso não significa que elas tem o mesmo significado. Exemplo: "O triângulo ABC tem dois lados iguais", e "O triângulo ABC tem 2 ângulos iguais". O antecedente é a premissa ou a causa e o consequente é a consequência. Quando uma implicação é traduzida por um julgamento hipotético (ou condicional) O antecedente é chamado de "hipótese (ou de condição) e o consequente é chamado de tese.

Uma forma comum de se demonstrar um bicondicional é usar sua equivalência para a conjunção de duas condicionais ,em que há uma troca entre a hipótese e a conclusão, as demonstrando separadamente.

Quando ambos os membros da bicondicional são proposições, ela pode ser dividida em duas condicionais, na qual uma é chamada de teoremae a outra é sua recíproca.^[^{carece de fontes?]}Assim, sempre que um teorema e sua recíproca são verdadeiros, temos um bicondicional. Um simples teorema dá origem a uma implicação cujo antecedente é a hipótese e cujo consequente é a tese do teorema. condição suficiente da tese, e a tese a condição necessária da hipótese; isto é, é suficiente que a hipótese seja verdadeira para a tese de ser verdadeira também; embora seja necessário que a tese seja verdadeira para a hipótese de ser verdade também. Quando um teorema e sua recíproca são verdadeiros, dizemos que a sua hipótese é a condição necessária e suficiente da tese, ou seja, que é ao mesmo tempo, tanto a causa como consequência. Muitas vezes é dito que a hipótese é a condição suficiente da tese, e a tese a condição necessária da hipótese; isto é, é suficiente que a hipótese seja verdadeira para a tese de ser verdadeira também; embora seja necessário que a tese seja verdadeira para a hipótese de ser verdade também. Quando um teorema e sua recíproca são verdadeiros, dizemos que a sua hipótese é a condição necessária e suficiente da tese, ou seja, que é ao mesmo tempo, tanto a causa como consequência.

Definição

Igualdade lógica (Também conhecida como bicondicional) é uma operação em dois valores verdade, tipicamente, o valor de duas proposições, que produzem o valor verdadeirose e somente se ambos os operandos são falsos ou ambos os operandos são verdadeiros.

Tabela verdade

A tabela verdade para $~A\leftrightarrow B$ (também escritos como A ≡ B, A = B, or A EQ B) como a seguir:

INPUT		OUTPUT
A	B	A $~\leftrightarrow ~$ B
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Mais de duas proposições combinadas por $~\leftrightarrow ~$ são ambíguas:

$~x_{1}\leftrightarrow x_{2}\leftrightarrow x_{3}\leftrightarrow ...\leftrightarrow x_{n}$ pode estar significando $~(((x_{1}\leftrightarrow x_{2})\leftrightarrow x_{3})\leftrightarrow ...)\leftrightarrow x_{n}$ ,

Ou pode ser usado para dizer que todos os $~x_{i}~$ são todos verdadeiros ou todos falsos: $(~x_{1}\land ...\land x_{n}~)~\lor ~(\neg x_{1}\land ...\land \neg x_{n})$

Só para o zero ou para dois argumentos isso é o mesmo.

As próximas tabelas verdades mostram o mesmo padrão apenas na linha com nenhum argumento e nas linhas com dois argumentos:

$~x_{1}\leftrightarrow ...\leftrightarrow x_{n}$
concebido como equivalente a
$\neg ~(\neg x_{1}\oplus ...\oplus \neg x_{n})$

O diagrama de Venn central abaixo,
e a linha *(ABC )* nesta matriz
representam a mesma operação.

$~x_{1}\leftrightarrow ...\leftrightarrow x_{n}$
concebido como uma simplificação para
$(~x_{1}\land ...\land x_{n}~)$
$\lor ~(\neg x_{1}\land ...\land \neg x_{n})$

O diagrama de bem exatamente abaixo,
e a linha *(ABC )*nesta matriz
representam a mesma operação.

The left Venn diagram below, and the lines (AB ) in these matrices represent the same operation.

Diagramas de Venn

As áreas vermelhas representam verdadeiro (como em para Disjunção_lógica|e).

A bicondicional de duas proposições
é a Negação da ou exclusivo:

~A\leftrightarrow B~~\Leftrightarrow ~~\neg (A\oplus B)

$\Leftrightarrow \neg$

O bicondicional e o
ou exclusivo de três proposições
dá o mesmo resultado:

$~A\leftrightarrow B\leftrightarrow C~~\Leftrightarrow$
$~A\oplus B\oplus C$

$\leftrightarrow$ $~~\Leftrightarrow ~~$

$\oplus$ $~~\Leftrightarrow ~~$

Mas

~A\leftrightarrow B\leftrightarrow C

pode também ser usado como uma abreviação
para

(A\leftrightarrow B)\land (B\leftrightarrow C)

$\land$ $~~\Leftrightarrow ~~$

Propriedades

Comutatividade: sim

$A\leftrightarrow B$	$\Leftrightarrow$	$B\leftrightarrow A$
	$\Leftrightarrow$

Associatividade: sim

$~A$	$~~~\leftrightarrow ~~~$	$(B\leftrightarrow C)$	$\Leftrightarrow$			$(A\leftrightarrow B)$	$~~~\leftrightarrow ~~~$	$~C$
	$~~~\leftrightarrow ~~~$		$\Leftrightarrow$		$\Leftrightarrow$		$~~~\leftrightarrow ~~~$

Distributividade: Bicondicionais dão distribuem entre nenhuma função binária (nem a si mesmo),
Mas a disjunção lógica (veja aqui)se distribui sobre bicondicionais.

Função_monótona: não

$~A~$	$~\leftrightarrow ~$	$~A~$	$\Leftrightarrow$	$~1~$	$\nLeftrightarrow$	$~A~$
	$~\leftrightarrow ~$		$\Leftrightarrow$		$\nLeftrightarrow$

monotonicity: no

$A\rightarrow B$	$\nRightarrow$			$(A\leftrightarrow C)$	$\rightarrow$	$(B\leftrightarrow C)$
	$\nRightarrow$		$\Leftrightarrow$		$\rightarrow$

verdade preservada: sim
Quando todas as entradas são verdadeiras, a saída é verdadeira.

$A\land B$	$\Rightarrow$	$A\leftrightarrow B$
	$\Rightarrow$

falsidade de preservação: não
Quando todos as entradas são falsas, a saída não é falsa.

$A\leftrightarrow B$	$\nRightarrow$	$A\lor B$
	$\nRightarrow$

Walsh spectrum: (2,0,0,2)

Nãolinearidade: 0 (a função é linear)

Regras de inferência

Como todos os conectivos em lógica de primeira ordem, a bicondicional tem regras de inferência que governam seu uso em provas formais.

introdução bicondicional

Introdução_Bicondicional permite inferir que, se B se segue a partir de A, e A Decorre B, então A Se_e_somente_se B. Por exemplo, a partir das declarações "se eu estou respirando, então eu estou vivo" e "se eu estou vivo, então eu estou respirando", pode-se inferir que "eu estou respirando, se e somente se eu estiver vivo "ou, igualmente inferível:" Eu estou vivo, se e somente se eu estou respirando. "

 B → A   
 A → B   
 ∴  A ↔ B

 B → A   
 A → B   
 ∴  B ↔ A

Eliminação da bicondicional

Eliminação Biconditional permite inferir uma a condicional de um bicondicional: if (A ↔ B) é verdadeira, então pode-se inferir um sentido da bicondicional, (A → B) e (B → A).

Por exemplo, se é verdade que eu estou respirando, se e somente se, eu estou vivo, então é verdade que se eu estou respirando, eu estou vivo, do mesmo modo, é verdade que se eu estou vivo, eu estou respirando . formalmente:

 ( A ↔ B )  
 ∴ ( A → B )

também

 ( A ↔ B )  
 ∴ ( B → A )

Uso coloquial

Uma maneira inequívoca de afirmar uma bicondicional em português é da forma "b se um e se b". Outra é "a se e somente se b". Um pouco mais formal, pode-se dizer "b implica a e a implica b". Em português "se" pode às vezes ser usado como um bicondicional. É preciso pesar contexto fortemente.

Por exemplo, "eu vou te comprar uma nova carteira, se você precisa de uma" pode ser entendida como uma bicondicional, uma vez que o orador não tem a intenção de um resultado válido para estar comprando a carteira ou não a carteira é necessário (como em uma condicional). No entanto, "está nublado, se está chovendo" não é concebida como um bicondicional, uma vez que pode ser nublado, enquanto não chover.

Ver também

Notas

↑ Handbook of Logic, page 81

References

Brennan, Joseph G. Handbook of Logic, 2nd Edition. Harper & Row. 1961

Predefinição:Logical connectives Este artigo incorpora material de Biconditional do PlanetMath, que é licenciado sob GFDL.

[1] Handbook of Logic, page 81

[1]