Grupo de permutação

Em matemática e, em particular, na teoria dos grupos, um grupo de permutação é um grupo cujos elementos são permutações de elementos de um conjunto M, com a operação binária de composição de funções.

O teorema de Cayley afirma que qualquer grupo é isomorfo a um grupo de permutações.

O grupo simétrico é o grupo de todas as permutações de um conjunto.

Exemplos

• O grupo $S_{n}\,$ é o grupo de todas as permutações do conjunto {1, 2, … n}.
• Em particular, temos que:
  • $S_{1}\,$ é o grupo trivial de um único elemento
  • $S_{2}\,$ é isomorfo a $\mathbb {Z} _{2}\,$
  • $S_{3}\,$ é o menor grupo não-abeliano (precisamente: qualquer grupo não-abeliano tem mais elementos que ele ou é isomorfo a ele)
  • $S_{5}\,$ não é solúvel (o que tem implicações na tentativa de resolver uma equação do quinto grau por radicais).

Notação

Além da permutação identidade, a permutação mais simples é a permutação circular, representada por $(a_{1},a_{2},\ldots a_{n})\,$ e definida por $f(a_{i})=a_{i+1}\,$ para $1\leq i<n\,$, $f(a_{n})=a_{1}\,$ e $f(x)=x\,$ caso $x\notin \{a_{1},a_{2},\ldots a_{n}\}\,$.

Um resultado importante é que o grupo $S_{n}\,$ é gerado pelas duas permutações (1, 2) e (1, 2, …, n), no seguinte sentido: o menor subgrupo de $S_{n}\,$ que inclui essas duas permutações é o próprio $S_{n}\,$.

Algumas vezes, quando não existe chance de confusão, as vírgulas são omitidas, por exemplo (1 2), (1 3 2)

Exemplo

Como exemplo desta notação, será escrito o grupo S₃, das permutações em um conjunto de três elementos. Sem perda de generalidade, este conjunto será { 1, 2, 3 }.

Sabe-se, da análise combinatória, que este grupo possui 3! = 6 elementos.

A função identidade, que não altera nenhum elemento, será representada por (). Temos duas permutações circulares de todos os elementos, (1 2 3) e (1 3 2), e três transposições de dois elementos, (2 3), (1 3) e (1 2).

Para montar a tabela do grupo, devemos fazer as operações. Por exemplo, (1 2) (1 2 3) corresponde a levar 1→2, 2→3, 3→1 e, em seguida, levar 1→2 e 2→1, ou seja, 1→1, 2→3 e 3→2. Logo (1 2) (1 2 3) = (2 3).

A tabela deste grupo, então, é:

Grupo de Permutações em um conjunto de três elementos

$\star \,$	()	(1 2 3)	(1 3 2)	(2 3)	(1 3)	(1 2)
()	()	(1 2 3)	(1 3 2)	(2 3)	(1 3)	(1 2)
(1 2 3)	(1 2 3)	(1 3 2)	()	(1 2)	(2 3)	(1 3)
(1 3 2)	(1 3 2)	()	(1 2 3)	(1 3)	(1 2)	(2 3)
(2 3)	(2 3)	(1 3)	(1 2)	()	(1 2 3)	(1 3 2)
(1 3)	(1 3)	(1 2)	(2 3)	(1 3 2)	()	(1 2 3)
(1 2)	(1 2)	(2 3)	(1 3)	(1 2 3)	(1 3 2)	()

em que linha * coluna gera o elemento da tabela.

Transposições

As permutações da forma (i, j) são chamadas de transposições. Outro resultado importante é que $S_{n}\,$ é gerado pelas transposições.

Outro resultado importante é que se a identidade pode ser escrita por um produto de transposições, $1=(a_{1},b_{1})(a_{2},b_{2})\ldots (a_{n},b_{n})\,$, então n é um número par.

Com isso, podemos definir o que são permutações pares e permutações ímpares, como aquelas que podem ser escritas, respectivamente, como um produto de um número par ou ímpar de transposicões.

Prova-se também que, para n ≥ 3, o grupo das permutações pares A_n é gerado pelas permutações de forma (i, j, k).