Суперелипса

Суперелипса или Ламеова крива је затворена крива која подсећа на елипсу, задржавајући геометријске карактеристике полу-главне осе и полу-мале осе и симетрије око њих али другачијег облика. Специјални случајеви ових кривих, а припадају фамилији суперелипса су: ружа- криве, супер-ружа криве и суперспирале.

Суперелипсе

Нека x и y Декартове координате у равни $\mathrm {E} ^{2}$. Тада је једначина круга полупречника r, чији је центар у координатном почетку О дата са

$x^{2}+y^{2}=r^{2}$,

и једначина елипсе са полуосама $a$ и $b\neq {a}$ , са центром у координатном почетку О дата са

$\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1$

Француски математичар Gabriel Lamé (1795-1870), бавио се проучавањем ових кривих и увео је фамилију тзв. „суперелипси“. Према Ламеу, кругови и елипсе, исто као квадрати и правоугаоници, укључени су у фамилију тзв. „суперелипси“ тј. равних кривих датих Декартовим једначинама облика

(1) $\left|{\frac {x}{a}}\right|^{n}+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}=1$

при чему су $a,b,n$  позитивни бројеви.

Специфични случајеви (Ламеових кривих)

Формула (1) дефинише затворену криву која се налази у правоугаонику $-a\leq x\leq a$ и $-b\leq x\leq b$ . Параметри $a$ и $b$ се називају полупречник кривине.

Када је $n$  између 0 и 1, суперелипса има облик звезде, док за $n={\frac {1}{2}}$, краци те звезде су направљени од лукова параболе.

Ако је $n=1$, крива је дијамант са теменима ,${\bigl (}\pm a,0{\bigr )}$ и ${\bigl (}0,\pm b{\bigr )}$, ако је $n$ између 1 и 2, изгледа као дијамант са истим теменима али са конвексне (споља закривљене) стране.

Ако је $n=2$  крива је обична елипса, а ако је $n$ веће од 2, та површина изгледа као правоугаоник са угловима.

• 
• 
• 

Математичка својства

Преласком на поларне координате $\rho$ и $\theta$, тако да је

${\begin{cases}\rho \cos \theta \\\rho \sin \theta \end{cases}}$

Где уз то уводећи коефицијент $m/4$ (који допушта увођење специфичних ротационих симетрија око 0 од оних који се односе на четири квадранта координатног система). Заменом поларних координата у једначину (1) добијамо:

(2) $\rho =\{|{\frac {\cos mq/4}{a}}|^{n_{2}}+|{\frac {\sin mq/4}{b}}|^{n_{3}}\}^{-1/n_{1}}$

при чему $n_{1}\in R_{0},n_{2},n_{3}\in R$.

Равне криве дате помоћу поларне једначине (2), при чему је у сваком случају $a=b$  приказене су на слици 4.

Равне криве дате помоћу поларних једначина (2) могу се у извесном смислу интерпретирати, тако као да су добијене полазећи од јединичног круга са центром у 0, $\rho =1$, помоћу трансформације задате десном страном једначине (2) за било који избор параметра $a,b,m,n_{1},n_{2},n_{3}.$

Ове раванске криве одређене су помоћу поларних једначина $\rho =f(\theta )$ где  у $f$ основи може бити произвољна позитивна реална функција. Њихова поларна једначина је:

(3) $\rho =f(\theta )\cdot \{|{\frac {\cos mq/4}{a}}|^{n_{2}}+|{\frac {\sin mq/4}{b}}|^{n_{3}}\}^{-1/n_{1}}$

Једначина ружа- криве (Grandi) је

(4) $\rho =\rho (\theta )=\cos(2,50)$

Помоћу трансформације (3) са параметрима $m=2,5,n_{1}=1/1,3,n_{2}=n_{3}=2,7$ и $m=2,5,n_{1}=n_{2}=n_{3}=5$ добијамо супер-ружа криве.

Једначина логаритамске спирале је $\rho =f(\theta )=e^{0,2\theta }$. Помоћу трансформације (3) са параметрима $m=4,n_{1}=n_{2}=n_{3}=100$ и $m=10,n_{1}=n_{2}=n_{3}=5$, добијамо суперспирале.

• 
• 
•