Бет (літера)

Єврейський алфавіт читається справа наліво
	Алеф א	Бет ב	Гімель ג	Далет ד
Хей ה	Вав ו	Заїн ז	Хет ח	Тет ט	Йод י
Каф כך	Ламед ל	Мем מם	Нун נן	Самех ס	Аїн ע
Пе פף	Цаді צץ	Куф ק	Реш ר	Шин ש	Тав ת

Бет, івр. בֵּי"ת — друга літера гебрайської абетки. Пишеться ב. Має числове значення (гематрію) 2.

ב ב

Бет в теорії множин

В теорії множин символ $\beth _{1}$ (читається «бет один») позначає потужність множини, яка рівна $2^{\aleph _{0}}$. Відповідно, існують символи $\beth _{2}$, $\beth _{3}$ и так далі. Більш докладно — статті про потужність множин.

Зв'язок з алеф номером

Припускаючи, що аксіома вибору нескінченної потужності лінійно впорядкована, то немає двох потужностей які не можуть бути порівняні. Таким чином, оскільки, за визначенням, не є нескінченними потужності між $\aleph _{0}$ і $\aleph _{1}$ випливає, що $\beth _{1}\geq \aleph _{1}.$ Повторюючи це міркування (див. трансфінітних індукції) отримуємо: $\beth _{\alpha }\geq \aleph _{\alpha }$ для всіх ординалів $\alpha$. Континуум-гіпотеза еквівалентна $\beth _{1}=\aleph _{1}.$

Узагальнення континуум-гіпотези стверджує, що послідовність чисел Бет визначена так само, як послідовність Алеф номерів, тобто $\beth _{\alpha }=\aleph _{\alpha }$ для всіх порядкових чисел $\alpha$.

Визначення

Для визначення числа Бет, припустимо

$\beth _{0}=\aleph _{0}$

є потужність будь-якої зліченної нескінченної множини (для прикладу візьмемо множину $\mathbb {N}$ з натуральних чисел). Позначимо P(A) булеан або множину всіх підмножин множини A. Тоді визначимо

$\beth _{\alpha +1}=2^{\beth _{\alpha }},$

яка є потужністю булеану А, якщо $\beth _{\alpha }$ є потужністю А. Маючи це означення

$\beth _{0},\ \beth _{1},\ \beth _{2},\ \beth _{3},\ \dots$

є відповідно потужностями

$\mathbb {N} ,\ P(\mathbb {N} ),\ P(P(\mathbb {N} )),\ P(P(P(\mathbb {N} ))),\ \dots .$.

Тоді друге число Бет $\beth _{1}$ дорівнює ${\mathfrak {c}}$, потужності континууму, і третє число бет $\beth _{2}$ — потужність булеану континууму.

Тоді за Теоремою Кантора кожен набір в попередній послідовності має потужність строго більше, ніж попередній. Для нескінченних порядкових чисел λ відповідне число Бет визначається як верхня межа чисел Бет для всіх порядкових чисел строго менших за λ:

$\beth _{\lambda }=\sup\{\beth _{\alpha }:\alpha <\lambda \}.$

Окремі кардинальні числа

Бет-нуль

Так як за означенням це є $\aleph _{0}$ або алеф нуль, тоді множини з потужністю $\beth _{0}$ включають:

• натуральні числа N
• раціональні числа Q
• алгебраїчні числа
• множину скінченних множин цілих чисел

Бет один

Множини з потужностями $\beth _{1}$ включають в себе:

• трансцендентні числа
• ірраціональні числа
• дійсні числа R
• комплексні числа C
• евклідовий простір Rⁿ
• множину всіх підмножин множини натуральних чисел
• множину послідовностей цілих чисел (тобто всі функції N → Z, часто позначаються Z^N)
• множину послідовностей дійсних чисел, R^N
• множину всіх неперервних функцій з R на R
• множину скінченних підмножин дійсних чисел

Бет два

$\beth _{2}$ також називають 2^c. Множини з потужністю $\beth _{2}$ включають в себе:

• множину всіх функцій з R на R (R^R)
• множина всіх функцій з R^m на Rⁿ