Строфоїда

Строфоїда (від грец. στροφή — поворот) — алгебрична крива 3-го порядку. Будується таким чином (див. Рис. 1):

Рис. 1

Рис. 2

У декартовій системі координат, де вісь абсцис направлена ​​за OB, а вісь ординат за OD, задана фіксована точка A на осі OX. Через точку А проводиться довільна пряма AL, яка перетинає вісь ординат у точці P. Від точки P, на відстані рівній OP, в обидва боки вздовж прямої AL розташовані точки M1 і M2. Геометричне місце точок M1 і M2 утворюють строфоїду.

У прямокутній системі координат будується пряма строфоїда або просто строфоїда, яка зображена на Рис.1. У косокутній системі координат будується коса строфоїда — Рис.2.

Рівняння

Рівняння строфоїди в декартовій системі координат, де O — початок координат, вісь абсцис направлена за променем OB, вісь ординат за променем OD, кут $\alpha =\angle AOD$(для прямокутної системи координат $\alpha ={\frac {\pi }{2}}$), записується так:

$y^{2}\left(x-a\right)-2x^{2}y\cos \alpha +x^{2}\left(a+x\right)=0$.

Рівняння прямої строфоїди:

$y=\pm x{\sqrt {\frac {a+x}{a-x}}}$.

Рівняння строфоїди в полярній системі координат:

$\rho =-{\frac {a\cos 2\phi }{\cos \phi }}$.

Параметричне рівняння строфоїди:

$x=a\left({\frac {u^{2}-1}{u^{2}+1}}\right)$

$y=au\left({\frac {u^{2}-1}{u^{2}+1}}\right)$, де

$u=\mathrm {tg} \,\phi$.

Точка B розміщена від центру координат O на відстані, рівній a = OA. Пряма UV, проведена через точку B паралельно до осі ординат слугує асимптотою для обох гілок прямої строфоїди. Для косої строфоїди, пряма UV слугує асимптотою для нижньої гілки і дотичною в точці S, причому SB = SA.

У точці O існують дві дотичні, які взаємно перпендикулярні, як для прямої, так і для косої строфоїди.

Див. також

• Конхоїда Слюза