張量

張量

喺數學上，一個張量（粵拼：zoeng1 loeng6；英文：tensor）係一嚿包含多個數嘅數學物體，可以話係向量（vector）嘅廣義化；一個二維向量會有兩個數值（$(x_{1},x_{2})$），每個數值都掕住一個細字（$x_{i}$ 當中嘅 $i$）表示佢喺個向量當中嘅位置，所以一個向量係一個 1-級（rank-1）嘅張量；以下呢個矩陣（matrix）係一個 2-級（rank-2）嘅 $2\times 3$ 張量

$${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\\end{bmatrix}}$$

每個數都會掕住兩個細字（$a_{ij}$ 當中嘅 $i$ 同 $j$）表示佢喺個矩陣當中嘅位置；即係話一個張量包含咗多個數字，而個張量嘅級數（rank）表示「每一個數要掕幾多個細字表達佢喺個張量入面嘅位置」。

工程應用

睇埋：工程數學

張量喺工程學分析上好有用，例如而家分析一嚿立方體點樣俾力搓同撳，嚿立方體可以沿三維空間嘅三個方向郁：1 號向左右，2 號向前後，3 號向上下。每個方向有佢各自對應嘅表面，而每個表面各自可以受 3 個方向嘅力。$\sigma _{11}$ 即係 1 號方向嘅力作用喺 1 號面，會令嚿嘢拉長；$\sigma _{21}$ 即係 2 號方向嘅力作用喺 1 號面，捽佢向前；$\sigma _{31}$ 會捽 1 號面向上，如此類推。1 號面從三個方向受嘅三度力可以合併標記，記做 $T^{e_{1}}$，係一個三維向量；同理，$T^{e_{2}}$ 同 $T^{e_{3}}$ 表達 2 號面同 3 號面所受嘅力，$T^{e_{1}}$、$T^{e_{2}}$ 同 $T^{e_{3}}$ 呢三個向量結埋一齊成一個 2-級張量：

$${\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{21}&\sigma _{31}\\\sigma _{12}&\sigma _{22}&\sigma _{32}\\\sigma _{13}&\sigma _{23}&\sigma _{33}\\\end{bmatrix}}$$

流體力學同古典電磁學等領域上嘅分析仲成日會用到超過 2 級嘅張量。而喺幾何學入面，張量仲可以用嚟表示向量、純量同其他張量之間嘅線性關係。

睇埋

• 內積
• 向量積
• 線性映射