序拓撲

数学上，序拓撲是可以定義在任意全序集上的拓扑结构。此為將实数的拓撲結構推廣到任意全序集上所得。具有此種拓撲結構的拓撲空間稱為序空間。

如果 X 為全序集，則 X 的序拓扑由無界開區間

(a,\infty )=\{x\mid a<x\}

(-\infty ,b)=\{x\mid x<b\}

組成的準基生成，其中 a,b 取遍 X 的所有元素。這等價於，開區间

(a,b)=\{x\mid a<x<b\}

連同上述無界開區間組成序拓撲的一組基，換言之， X 內的開集可寫成該些開區間和無界開區間的（允許無窮）並。

若可對一个拓扑空间 X 的元素定義一個全序，使得該全序給出的序拓撲就是 X 自身的拓撲，則称 X 为可序化的 。 X 上的序拓撲使 X 成為一個完全正規的豪斯多夫空间。

實數集 $\mathbb {R}$ 、有理數集 $\mathbb {Q}$ 、整數集 $\mathbb {Z}$ 和自然數集 $\mathbb {N}$ 上的標準拓撲均為序拓撲。然而，無理數集 $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ 上的標準拓樸並不是序拓樸。雖然有理數集 $\mathbb {Q}$ 和無理數集 $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ 都是稠密有序（英语：dense order）（Dense order）的，但無理數集 $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ 作為實數集 $\mathbb {R}$ 的子集，其上的拓樸是透過實數集 $\mathbb {R}$ 中的開集與無理數集的交集來定義的（即子空間拓樸）。在這種情況下，無法僅用無理數集 $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ 自然地定義開區間來產生序拓撲。相較之下，有理數集 $\mathbb {Q}$ 中的開區間可以直接透過其順序來定義，從而形成序拓撲。

誘導拓扑

若 Y 為 X 的子集，則 Y 继承了 X 的全序。Y 因此具有序拓扑结构，稱為导出拓扑。作为 X 的子集，Y 还有一个子空间拓扑。子空间拓撲至少比誘導拓撲更精細，但一般情況下它们不相同。

例如，考虑有理數集的子集 Y ={-1} ∪ {1/n}_n∈N 。在子空间拓扑中，單元集 {-1} 在 Y 中是開集，但在诱导拓扑中，任何含有 -1 的開集都必须包含 Y （除有限個以外）的所有元素。

全序空間的子空间拓撲不一定可序化

虽然上述 Y ={-1} ∪ {1/n}_n∈N 的子空間拓撲不是由 Y 的誘導排序產生，它仍是 Y 上的序拓撲；事实上，在子空间拓撲中，每一点都是孤立的（即，單元集 {y} 是 Y 的開集），故子空间拓扑是 Y 上的離散拓撲（使得每一个子集都是 Y 的开集)，而任何集上的离散拓扑都是序拓扑。要定义 Y 的全序使得其产生的序拓扑是 Y 上的離散拓撲，只需修改 Y 上的誘導排序，使得 -1 是最大的元素，並保持其他元素的大小次序。於是，在新的排序（称為 <₁ ）中，有 1/n <₁ -1 對任意 n∈N 均成立。這樣，<₁ 在 Y 中給出的序拓撲是離散的。

以下將定義一個序空間 X 及其子集 Z ，使得不存在 Z 上的全序給出一個序拓撲與 Z 的子空間拓撲完全一樣。換言之，儘管該子空間拓撲為某序空間的子空間拓撲，其不為序拓撲。

取 $Z=\{-1\}\cup (0,1)$ 為實數軸的子集。同上可知，Z 上的子空间拓扑不等于 Z 上诱导的序拓扑。且可證，Z 上的子空间拓扑不等于 Z 上的任何序拓扑。

用反證法。假设 Z 有一個严格全序 < ，使得 < 給出的序拓撲等于 Z 的子空間拓撲（注意，並未假定 < 是 Z 上的誘導排序，即 < 可以是任意一种新的全序）。區間也相應地按 < 理解，下同。此外，如果 A 和 B 是集合，則 $A<B$ 表示：對任意 A 的元素 a 和 B 的元素 b ，都有 $a<b$ 。

設 M=Z \{-1} 為單位開區間，則 M 連通。若 m,n ∈ M 且 m<-1<n ，則 $(-\infty ,-1)$ 和 $(-1,\infty )$ 是 M 的分隔，矛盾。因此，M<{-1} 或者 {-1}<M 。不妨設 {-1}<M 。因 {-1} 是 Z 的開集，存在 M 中的一點 p 使得 (-1, p ) 為空。又因 {-1}<M ，-1 是唯一小于 p 的元素，因此 p 是 M 中最小的。但這樣，M \ {p}=A ∪ B，其中 A 和 B 是實軸上不相交的兩個開集（從實軸上的開區間去除一点，剩下的是兩個開區間）。由連通性，没有 Z \B 中的點在排序後介於 B 的兩點之間，也没有 Z \A 中的點在排序後介於 A 的兩點之間。因此，任何一个 A<B 或 B<A. 又不妨設 A<B. 如果 a 為 A 中任何一点，則 p<a ，且 (p, a) $\subseteq$ A. 又 (-1, a) = [p, a)，因此 [p, a) 是开集。而 {p}∪A = [p, a)∪A，因此 {p }∪A 是 M 的開子集，因此 M = ({p }∪A) ∪ B 把 M 分割成兩個不相交的開集，這與 M 連通矛盾。