序拓扑

数学上，序拓扑是可以定义在任意全序集上的拓扑结构。此为将实数的拓扑结构推广到任意全序集上所得。具有此种拓扑结构的拓扑空间称为序空间。

如果 X 为全序集，则 X 的序拓扑由无界开区间

(a,\infty )=\{x\mid a<x\}

(-\infty ,b)=\{x\mid x<b\}

组成的准基生成，其中 a,b 取遍 X 的所有元素。这等价于，开区间

(a,b)=\{x\mid a<x<b\}

连同上述无界开区间组成序拓扑的一组基，换言之， X 内的开集可写成该些开区间和无界开区间的（允许无穷）并。

若可对一个拓扑空间 X 的元素定义一个全序，使得该全序给出的序拓扑就是 X 自身的拓扑，则称 X 为可序化的 。 X 上的序拓扑使 X 成为一个完全正规的豪斯多夫空间。

实数集 $\mathbb {R}$ 、有理数集 $\mathbb {Q}$ 、整数集 $\mathbb {Z}$ 和自然数集 $\mathbb {N}$ 上的标准拓扑均为序拓扑。然而，无理数集 $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ 上的标准拓朴并不是序拓朴。虽然有理数集 $\mathbb {Q}$ 和无理数集 $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ 都是稠密有序（英语：dense order）（Dense order）的，但无理数集 $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ 作为实数集 $\mathbb {R}$ 的子集，其上的拓朴是透过实数集 $\mathbb {R}$ 中的开集与无理数集的交集来定义的（即子空间拓朴）。在这种情况下，无法仅用无理数集 $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ 自然地定义开区间来产生序拓扑。相较之下，有理数集 $\mathbb {Q}$ 中的开区间可以直接透过其顺序来定义，从而形成序拓扑。

诱导拓扑

若 Y 为 X 的子集，则 Y 继承了 X 的全序。Y 因此具有序拓扑结构，称为导出拓扑。作为 X 的子集，Y 还有一个子空间拓扑。子空间拓扑至少比诱导拓扑更精细，但一般情况下它们不相同。

例如，考虑有理数集的子集 Y ={-1} ∪ {1/n}_n∈N 。在子空间拓扑中，单元集 {-1} 在 Y 中是开集，但在诱导拓扑中，任何含有 -1 的开集都必须包含 Y （除有限个以外）的所有元素。

全序空间的子空间拓扑不一定可序化

虽然上述 Y ={-1} ∪ {1/n}_n∈N 的子空间拓扑不是由 Y 的诱导排序产生，它仍是 Y 上的序拓扑；事实上，在子空间拓扑中，每一点都是孤立的（即，单元集 {y} 是 Y 的开集），故子空间拓扑是 Y 上的离散拓扑（使得每一个子集都是 Y 的开集)，而任何集上的离散拓扑都是序拓扑。要定义 Y 的全序使得其产生的序拓扑是 Y 上的离散拓扑，只需修改 Y 上的诱导排序，使得 -1 是最大的元素，并保持其他元素的大小次序。于是，在新的排序（称为 <₁ ）中，有 1/n <₁ -1 对任意 n∈N 均成立。这样，<₁ 在 Y 中给出的序拓扑是离散的。

以下将定义一个序空间 X 及其子集 Z ，使得不存在 Z 上的全序给出一个序拓扑与 Z 的子空间拓扑完全一样。换言之，尽管该子空间拓扑为某序空间的子空间拓扑，其不为序拓扑。

取 $Z=\{-1\}\cup (0,1)$ 为实数轴的子集。同上可知，Z 上的子空间拓扑不等于 Z 上诱导的序拓扑。且可证，Z 上的子空间拓扑不等于 Z 上的任何序拓扑。

用反证法。假设 Z 有一个严格全序 < ，使得 < 给出的序拓扑等于 Z 的子空间拓扑（注意，并未假定 < 是 Z 上的诱导排序，即 < 可以是任意一种新的全序）。区间也相应地按 < 理解，下同。此外，如果 A 和 B 是集合，则 $A<B$ 表示：对任意 A 的元素 a 和 B 的元素 b ，都有 $a<b$ 。

设 M=Z \{-1} 为单位开区间，则 M 连通。若 m,n ∈ M 且 m<-1<n ，则 $(-\infty ,-1)$ 和 $(-1,\infty )$ 是 M 的分隔，矛盾。因此，M<{-1} 或者 {-1}<M 。不妨设 {-1}<M 。因 {-1} 是 Z 的开集，存在 M 中的一点 p 使得 (-1, p ) 为空。又因 {-1}<M ，-1 是唯一小于 p 的元素，因此 p 是 M 中最小的。但这样，M \ {p}=A ∪ B，其中 A 和 B 是实轴上不相交的两个开集（从实轴上的开区间去除一点，剩下的是两个开区间）。由连通性，没有 Z \B 中的点在排序后介于 B 的两点之间，也没有 Z \A 中的点在排序后介于 A 的两点之间。因此，任何一个 A<B 或 B<A. 又不妨设 A<B. 如果 a 为 A 中任何一点，则 p<a ，且 (p, a) $\subseteq$ A. 又 (-1, a) = [p, a)，因此 [p, a) 是开集。而 {p}∪A = [p, a)∪A，因此 {p }∪A 是 M 的开子集，因此 M = ({p }∪A) ∪ B 把 M 分割成两个不相交的开集，这与 M 连通矛盾。