不可及数
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不可及数（Untouchable Number）是指无法表示为任何一个正整数（包括它自己）的全部真因數之和的正整数。
比如5就是不可及数。将5分解为含有1且全部加数均不重复的形式只有5=1+4一种；由于其它的分解方式均含相同的数或不含1，故5是不可及数。
相反的，4就不是不可及數，因為4可以表示為1+3，這是9的正因子（不考慮9本身）的和，因此4不是不可及數。
在线数列百科OEIS的A005114数列展示了递增排列的不可及数：
2, 5, 52, 88, 96, 120, 124, 146, 162, 188, 206, 210, 216, 238, 246, 248, 262, 268, 276, 288, 290,292,304,306,……
历史
[编辑]关于不可及数的最早研究历史至少可以追溯到大约公元1000年伊本·塔希尔·巴格达迪的研究，其发现2和5都是不可及数。[1][2]
埃尔德什·帕尔证明了不可及数有无穷多个。
性质
[编辑]- 完全数显然不是不可及数：完全数正好等于自身所有因子之和。
- 不可及数不可能比质数多3：显然任何素数p的2倍的因子之和为p+3。
参见
[编辑]參考資料
[编辑]- ^ Pollack, Paul; Pomerance, Carl. Some problems of Erdős on the sum-of-divisors function. Transactions of the American Mathematical Society, Series B. 2016-04-05, 3 (1). ISSN 2330-0000. doi:10.1090/btran/10 （英语）.
- ^ Pollack, Paul; Pomerance, Carl. Some problems of Erdős on the sum-of-divisors function. Transactions of the American Mathematical Society, Series B. 2016-04-05, 3 (1). ISSN 2330-0000. doi:10.1090/btran/10 （英语）.
- ^ 即在原有条件下要求两个质数不相同。请参看：Adams-Watters. Frank. Weisstein, Eric W. Untouchable Number. MathWorld.
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