振荡 (数学)

序列的振荡（蓝色）是序列的上极限和下极限的差值。

数学中，函数或序列的振荡是用于量化序列或函数在接近无穷大或某一点时，其极值之间的变化程度的数字。与极限类似，有好几种定义将这一只管概念转化为适合数学处理的形式：实数序列的振荡、实值函数在一点的振荡，以及函数在区间（或开集）上的振荡。

定义

序列的振荡

令$(a_{n})$为实数序列。则序列的$\omega (a_{n})$振荡可定义为$(a_{n})$的上下极限之间的差（可能是无穷大）：

$\omega (a_{n})=\limsup _{n\to \infty }a_{n}-\liminf _{n\to \infty }a_{n}$.

当且仅当序列收敛时，振荡为零。若$\limsup _{n\to \infty }$、$\liminf _{n\to \infty }$都等于+∞或−∞，即序列趋近于+∞或−∞，则称振荡未定义。

开集函数的振荡

令$f$为实变量的实值函数，则$f$在区间$I$上的振荡是$f$的上下确界之差：

$\omega _{f}(I)=\sup _{x\in I}f(x)-\inf _{x\in I}f(x).$

更一般地说，若$f:X\to \mathbb {R}$是拓扑空间$X$（如度量空间）上的函数，则$f$在开集$U$上的振荡为

$\omega _{f}(U)=\sup _{x\in U}f(x)-\inf _{x\in U}f(x).$

函数在一点的振荡

实变函数$f$在$x_{0}$处的振荡定义为$f$在$x_{0}$的$\epsilon$邻域上的振荡在$\epsilon \to 0$时的极限：

$\omega _{f}(x_{0})=\lim _{\epsilon \to 0}\omega _{f}(x_{0}-\epsilon ,x_{0}+\epsilon ).$

这等同于函数在$x_{0}$处的上下极限之差，前提是$x_{0}$不被排除在极限之外。

更一般地说，若$f:X\to \mathbb {R}$是度量空间上的实值函数，则振荡为

$\omega _{f}(x_{0})=\lim _{\epsilon \to 0}\omega _{f}(B_{\epsilon }(x_{0})).$

示例

sin (1/x)（拓扑学家正弦曲线）在x = 0处的振荡为2，其他地方都是0。

• ${\frac {1}{x}}$在$x=0$处有无穷大的振荡，其他地方均为0。
• $\sin {\frac {1}{x}}$（拓扑学家正弦曲线）在$x=0$处的振荡为2，其他地方均为0。
• $\sin x$在所有有限的$x$处的振荡均为0，在−∞、+∞处为2。
• $(-1)^{x}$（1, -1, 1, -1, 1, -1...）的振荡为2。

最后一例的序列是周期的，而任何周期（非常值）序列的振荡必不是0。不过，非零振荡无法推出周期性。

从几何角度看，实数振荡函数的图形会沿着xy平面上的某条路径运行，而不会收敛到越来越小的区域。在良态情况下，路径可能看起来像一个循环，即周期性行为；在最糟糕的情况下，则是覆盖整个区域的非常不规则的运动。

连续性

振荡可以用来定义函数的连续性，并且很容易等价于通常的ε-δ定义（对于定义在实线各处的函数）：当且仅当振荡为0时，函数ƒ在x₀处连续；用符号表示为$\omega _{f}(x_{0})=0.$这个定义的好处在于量化了不连续性：振荡给出了函数在某点的不连续程度。

例如，在间断点的分类中有：

• 可去间断点的函数偏移值等于震荡；
• 跳跃间断点的函数跳跃值等于震荡（假设该点的值位于两侧极限之间）；
• 第二类间断点中，振荡衡量了极限不存在的程度。

描述集合论中，这个定义有助于研究间断点和连续点的集合：连续点是振荡小于ε的集合的交集（于是是G_δ集），并给出了勒贝格可积条件一个方向的快速证明。

通过简单的重排和极限（上极限和下极限）来定义振荡，可以等价于ε-δ定义：若（在某点）对给定的ε₀，没有能满足ε-δ条件的δ，则振荡大于等于ε₀；反之，若对每个ε都有能满足的δ，则振荡为0。振荡定义可以自然地推广到从拓扑空间到度量空间的映射。

推广

更一般地，设f : X → Y是拓扑空间X到度量空间Y的函数，则f的振荡可定义在每个x ∈ X：

$\omega (x)=\inf \left\{\mathrm {diam} (f(U))\mid U\mathrm {\ is\ a\ neighborhood\ of\ } x\right\}$

另见

• 波动函数
• 包络
• 格兰迪级数
• 有界平均振动

阅读更多

• Hewitt and Stromberg. Real and abstract analysis. Springer-Verlag. 1965: 78. ISBN 9780387901381.  含有內容需登入查看的頁面 (link)
• Oxtoby, J. Measure and category 4th. Springer-Verlag. 1996: 31–35. ISBN 978-0-387-90508-2. 
• Pugh, C. C. Real mathematical analysis. New York: Springer. 2002: 164–165. ISBN 0-387-95297-7.  含有內容需登入查看的頁面 (link)