機械利益

機械利益（mechanical advantage）又称机械效益，指工具、機械設備（英语：mechanical device）或機械系統將力放大的比例。設備需在輸入的力及以位移之間取捨，最後得到輸出力的理想放大比例。此模型稱為「杠杆定律」。有些機械零件是為了轉換力以及位移，這種零件稱為机构^[1] 。假設F_in是輸入的力，F_out是輸出的力，則機械利益MA為：

{\mathit {MA}}={\frac {F_{out}}{F_{in}}}.

機械利益為正數，若大於一，表示輸出的力比輸入的力大，若小於一，表示輸出的力比輸入的力小，但輸出位移比輸入位移要大。

槓桿

槓桿以支點為中心而轉動，離支點越近的地方移動的越慢，離支點越遠的地方移動的越快。輸入槓桿及輸出槓桿的功率相等，而功率是力和速度的乘積，因此離支點越遠的地方，施的力就越小，離支點越近的地方，施的力就越大^[1]。

若a和 and b是點A和B距支點的距離，而F_A是在A點的輸入力，F_B是在B點的輸出力，A點和B點速度的比值為a/b，因此輸出力和輸入力的比值（機械利益）如下：

{\mathit {MA}}={\frac {F_{b}}{F_{a}}}={\frac {a}{b}}.

這就是槓桿原理，是阿基米德利用對幾何的理解所證明的^[2] 。

靜力學分析中，利用速度來分析槓桿的力，也是虛功定理的應用。

速比

理想機構輸入功率等於輸出功率，因此可以用系統輸入—輸出的速比（speed ratio）來計算機械利益。

若針對齒輪組，以ω_A的角速度給T_A的轉矩，其輸入功率為P=T_Aω_A。

因為輸入功率和輸出功率相等，輸出轉矩T_B和輸出角速度ω_B乘積會滿足以下關係

P=T_{A}\omega _{A}=T_{B}\omega _{B},\!

因此

{\mathit {MA}}={\frac {T_{B}}{T_{A}}}={\frac {\omega _{A}}{\omega _{B}}}.

速比的定義就是輸出角速度和輸入角速度的比值，因此針對理想機構的速比會等於機械利益，這應用在從机器人一直到连杆机构的所有机器。

齒輪系

由於齒輪的設計方式，齒輪的齒數會和其節圓的半徑成正比，因此二個相互嚙合的齒輪，可以由一個齒輪帶動另一個旋轉，不會滑動。一組齒輪的速比可以用其其節圓的半徑比來計算，也可以用二個齒輪齒數的比例（齒比）來計算。

二個齒輪在節圓上接觸點的速度v相等，因此可得

v=r_{A}\omega _{A}=r_{B}\omega _{B},\!

其中輸入齒輪A的半徑是r_A，和半徑為r_B的輸出齒輪嚙合因此

{\frac {\omega _{A}}{\omega _{B}}}={\frac {r_{B}}{r_{A}}}={\frac {N_{B}}{N_{A}}}.

其中N_A是輸入齒輪的齒數，N_B是輸出齒輪的齒數。

由輸入齒輪齒數N_A，輸出齒輪齒數N_B組成的嚙合齒輪，其機械利益為

{\mathit {MA}}={\frac {r_{B}}{r_{A}}}={\frac {N_{B}}{N_{A}}}.

因此若輸出齒輪G_B比輸入齒輪G_A要大，此齒輪系可以放大力矩，但會讓轉速變慢，若輸出齒輪G_B比輸入齒輪G_A要小，此齒輪系可以縮小力矩，會讓轉速變快。

鏈輪或皮帶輪

不論是由鏈條連接兩個鏈輪的機構，或是由皮帶連接兩個皮帶輪的機構，其目的都是為了在傳動系統中改變其機械利益。

兩個鏈輪和鏈條接觸點的速度v會相等，兩個皮帶輪和皮帶接觸點的速度亦同：

v=r_{A}\omega _{A}=r_{B}\omega _{B},\!

其中鏈輪或皮帶輪A是輸入端，其半徑是r_A，輸出鏈輪或皮帶輪B的半徑是r_B。

因此

{\frac {\omega _{A}}{\omega _{B}}}={\frac {r_{B}}{r_{A}}}={\frac {N_{B}}{N_{A}}}.

其中N_A是輸入鏈輪的齒數，N_B是輸出鏈輪的齒數。若是齒形帶的皮帶輪機構，也可以使用其齒數。若是只用摩擦力的皮帶輪，一定要使用輸入輪和輸出輪半徑的資訊。

若鏈輪機構（或齒形帶皮帶輪機構），輸入輪齒數為N_A，輸出輪齒數為N_B，其機械利益是：

{\mathit {MA}}={\frac {T_{B}}{T_{A}}}={\frac {N_{B}}{N_{A}}}.

針對只使用摩擦力的皮帶輪，其機械利益是：

{\mathit {MA}}={\frac {T_{B}}{T_{A}}}={\frac {r_{B}}{r_{A}}}.

鏈條和皮帶在傳輸功率時會有摩擦力、伸長及磨損的情形，因此輸出功率會小於輸入功率，實際系統的機械利益會小於理論值。鏈輪機構或皮帶輪機構大約損失5%的功率，是因為摩擦生熱、形變或磨損所產生的熱，此時的效率約為95%。

滑輪組

滑輪組是繩子和許多滑輪組合，移動物品的機構。一般來說會有固定不移動的定滑輪，以及隨物品移動的動滑輪，繩子會繞在動滑輪和定滑輪上，以提供機械利益，在滑輪組的輸入端施力，再透過滑輪組將力放大，來移動物品^[3]。

為了計算滑輪組的機械利益，考慮最簡單的起重滑車，由一個定滑輪和一個動滑輪組成。繩子繞在定滑輪上，垂下的一端可以施力往下拉，垂下的另一端繞在乘載重物的動滑輪上，繞過動滑輪後固定在定滑輪的支架上。

滑輪組的機械利益等於支持移動重物的繩子數量，從左到右分別是2, 3, 4, 5和6

令S是從定滑輪軸心到繩子末端的長度，這是A，是施力的位置。令R是定滑輪軸心到動滑輪軸心的位置，這是B，是放重物的位置。

繩子的總長L可以寫成

L=2R+S+K,\!

其中K是繩子繞過定滑輪及動滑輪需要的長度，此長度不隨滑輪位置而變化。

A點和B點的速度V_A和V_B的關係和繩子的總長有關，繩子的總長為固定值，因此

{\dot {L}}=2{\dot {R}}+{\dot {S}}=0,

或者

{\dot {S}}=-2{\dot {R}}.

其中的負號表示重物速度的方向和施力的方向相反，施力往下，重物會向上移動。

令V_A向下為正，V_B向上為正，因此其關係可以表示為速比

{\frac {V_{A}}{V_{B}}}={\frac {\dot {S}}{-{\dot {R}}}}=2,

其中的2是支持動滑輪及重物重量的繩索數量。

令F_A是在A點的施力，令F_B是動滑輪在B點的受力。其正負號也是F_A往下為正，F_B往上為正。

若是理想的滑輪組，滑輪沒有摩擦力，繩子也不會形變或磨損，因此輸入功率F_AV_A會等於輸出功率F_BV_B，也就是

F_{A}V_{A}=F_{B}V_{B}.\!

輸出力和輸入力的比值即為理想起重滑車系統的機械利益

{\mathit {MA}}={\frac {F_{B}}{F_{A}}}={\frac {V_{A}}{V_{B}}}=2.\!

此分析可以擴展到理想的滑車組，其動滑輪及重物的重量是由n段繩子所支持

{\mathit {MA}}={\frac {F_{B}}{F_{A}}}={\frac {V_{A}}{V_{B}}}=n.\!

可以證明理想的滑車組對重物的輸出力是輸入力的n倍，其中n是支持動滑輪及重物重量的繩子數量。

效率

在計算機械利益時，會假設能量不會因為形變、摩擦力或是磨損所損失，機械可以以其最佳性能輸出，此情形下計算的機械利益會稱為是理想機械利益（ideal mechanical advantage、IMA）。實際上，形變、摩擦力或是磨損都會降低機械利益。實際機械利益（actual mechanical advantage、AMA）和理想機械利益之間的比值是效率，可以透過實驗求得。

例如有六段繩子支持動滑車的滑車組，有7002300000000000000♠300 kg的重物，若是在理想的滑車組，工人需要的施力會是7001500000000000000♠50 kg，若要讓重物上移1公尺，工人需要拉6公尺。F_out / F_in和V_in / V_out都可以說明理想機械利益是6。第一個比值是輸出力7002300000000000000♠300 kg和輸入力7001500000000000000♠50 kg所得的比值。但在真實系統中，輸入力7001500000000000000♠50 kg，因此摩擦力、繩子形變等因素的損失，輸出力會小於7002300000000000000♠300 kg，因此其實際機械利益會小於6。

理想機械利益

理想機械利益（ideal mechanical advantage、IMA）或理論機械利益（theoretical mechanical advantage）是假設沒有能量損失的情形下所得的機械利益。是用設備的實際尺寸計算的，也是實際機械利益的上限。

理想機械的假設也就表示機械本身不會儲存能量，也不會耗散能量。輸入的功率等於輸出的功率。因此，機械的功率是定值，等於力乘以速度，可以得到下式

P=F_{in}v_{in}=F_{out}v_{out}.

理想機械利益是輸出力和輸入力的比值

{\mathit {IMA}}={\frac {F_{out}}{F_{in}}}.

若考慮功率守恆的關係式，可得機械利益和速比之間的關係：

{\mathit {IMA}}={\frac {F_{out}}{F_{in}}}={\frac {v_{in}}{v_{out}}}.

機械的速比可以用其幾何尺寸來計算，因此可以用速比求得理想機械利益，也就是實際機械利益的上限。

實際機械利益

實際機械利益 (actual mechanical advantage、AMA）是在直接量測輸入力及輸出力所得的機械利益，其中有考慮因為形變、摩擦及磨損產生的能量損失。

機器的AMA可以用量測到的輸入力及輸出力來計算

{\mathit {AMA}}={\frac {F_{out}}{F_{in}}},

實際機械利益和機械利益之間的比例即為机械效率η

\eta ={\frac {\mathit {AMA}}{\mathit {IMA}}}.

參考資料

^ ^1.0 ^1.1 Uicker, John J.; Pennock, G. R.; Shigley, J. E. Theory of machines and mechanisms. New York: Oxford University Press. 2011. ISBN 978-0-19-537123-9.
^ Usher, A. P. A History of Mechanical Inventions. Harvard University Press (reprinted by Dover Publications 1988). 1929: 94 [7 April 2013]. ISBN 978-0-486-14359-0. OCLC 514178. （原始内容存档于2020-07-26）.
^ Ned Pelger, ConstructionKnowledge.net （页面存档备份，存于互联网档案馆）

Fisher, Len, How to Dunk a Doughnut: The Science of Everyday Life, Arcade Publishing, 2003, ISBN 978-1-55970-680-3 .
United States Bureau of Naval Personnel, Basic machines and how they work Revised 1994, Courier Dover Publications, 1971, ISBN 978-0-486-21709-3 .

外部連結

Gears and pulleys （页面存档备份，存于互联网档案馆）
Nice demonstration of mechanical advantage （页面存档备份，存于互联网档案馆）
Mechanical advantage — video （页面存档备份，存于互联网档案馆）

[Uicker-1] 1.0 ^1.1 Uicker, John J.; Pennock, G. R.; Shigley, J. E. Theory of machines and mechanisms. New York: Oxford University Press. 2011. ISBN 978-0-19-537123-9.

[Usher1954-2] Usher, A. P. A History of Mechanical Inventions. Harvard University Press (reprinted by Dover Publications 1988). 1929: 94 [7 April 2013]. ISBN 978-0-486-14359-0. OCLC 514178. （原始内容存档于2020-07-26）.

[3] Ned Pelger, ConstructionKnowledge.net （页面存档备份，存于互联网档案馆）

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