指数分布 的累积分布函数正态分布 的累积分布函数累积分布函数 （英語：cumulative distribution function ，CDF）或概率分布函数 ，简称分布函数 ，是概率密度函數 的积分，能完整描述一個實随机变量
X
{\displaystyle X}
概率分佈 。
在標量連續分佈 的情況下，它給出了從負無窮到
x
{\displaystyle x}
概率密度函數 下的面積。 累積分佈函數 也用於指定多元隨機變量
對於所有實數 值的随机变量
X
{\displaystyle X}
[ 1] :p. 77 ：
F
X
(
x
)
=
P
(
X
≤
x
)
{\displaystyle F_{X}(x)=\operatorname {P} (X\leq x)}
Eq.1
其中右侧表示随机变量
X
{\displaystyle X}
x
{\displaystyle x}
概率 。
對於
X
{\displaystyle X}
(
a
,
b
]
{\displaystyle (a,b]}
a
<
b
{\displaystyle a<b}
[ 1] :p. 84 :
P
(
a
<
X
≤
b
)
=
F
X
(
b
)
−
F
X
(
a
)
{\displaystyle \operatorname {P} (a<X\leq b)=F_{X}(b)-F_{X}(a)}
Eq.2
在上面的定義中，“小於或等於”符號“≤”是一種約定，不是普遍使用的（例如匈牙利文獻使用“<”），但這種區別對於離散分佈很重要。二項式分布 和泊松分布 的表格的正確使用取決於此約定。此外，像數學家保羅·皮埃爾·萊維 (Paul Lévy)的特徵函數 反演公式等重要公式也依賴於“小於或等於”公式。
有界性 [ 2]
lim
x
→
−
∞
F
X
(
x
)
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to -\infty }F_{X}(x)=0}
lim
x
→
+
∞
F
X
(
x
)
=
1
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }F_{X}(x)=1}
單調性 ：
F
X
(
x
1
)
≤
F
X
(
x
2
)
,
if
x
1
<
x
2
{\displaystyle F_{X}(x_{1})\leq F_{X}(x_{2}),\ {\mbox{if}}\,x_{1}<x_{2}}
右連續 性：
lim
x
→
x
0
+
F
X
(
x
)
=
F
X
(
x
0
)
{\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}^{+}}F_{X}(x)=F_{X}(x_{0})}
X
{\displaystyle X}
(
a
,
b
]
{\displaystyle (a,b]}
P
(
a
<
X
≤
b
)
=
F
X
(
b
)
−
F
X
(
a
)
{\displaystyle \operatorname {P} (a<X\leq b)=F_{X}(b)-F_{X}(a)}
一隨機變數
X
{\displaystyle X}
F
X
(
x
)
=
∫
−
∞
x
f
X
(
t
)
d
t
{\displaystyle F_{X}(x)=\int _{-\infty }^{x}f_{X}(t)\,dt}
若累积分布函数
F
{\displaystyle F}
反函数
F
−
1
(
y
)
,
y
∈
[
0
,
1
]
{\displaystyle F^{-1}(y),y\in [0,1]}
F
X
(
x
)
{\displaystyle F_{X}(x)}
X
{\displaystyle X}
F
X
−
1
{\displaystyle F_{X}^{-1}}
a
{\displaystyle a}
[
0
,
1
)
{\displaystyle [0,1)}
F
X
−
1
(
a
)
{\displaystyle F_{X}^{-1}(a)}
X
{\displaystyle X}
互补累積分布函数（complementary cumulative distribution function、CCDF），是对连续函数，所有大于
a
{\displaystyle a}
F
(
a
)
=
P
(
x
>
a
)
{\displaystyle F(a)=P(x>a)}
^ 1.0 1.1 Park, Kun Il. Fundamentals of Probability and Stochastic Processes with Applications to Communications. Springer. 2018. ISBN 978-3-319-68074-3 ^ 《概率論與數理統計教程》茆詩松 程依明 濮曉龍
