微積分學教程
《微積分學教程》（俄語：Курс дифференциального и интегрального исчисления），是蘇聯數學家菲赫金哥爾茨[1]為數學分析課程撰寫的一本教程。書中所包含的主要理論是20世紀初最後形成的現代數學分析的經典部分，其內容是在大學的第一、二年級講授。
全書共分為三卷，第一卷包括實數理論、實變數一元與多元微分學及其應用；第二卷研究黎曼積分理論與級數理論；第三卷研究多重積分、曲線積分、曲面積分、斯蒂爾切斯積分、傅里葉級數與傅里葉變換。此教程篇幅巨大、內容豐富並含有大量例題及應用實例，定理證明詳盡細緻、處理方法經典，理論內容論述深刻。種種原因使得全書被譯為多種文字，並在中、東歐國家及中國大陸廣為流傳。目前最新中譯版是高等教育出版社第八版。
作者
[編輯]《微積分學教程》的作者菲赫金哥爾茨是蘇聯數學家及數學教育家，是實變函數論列寧格勒學派的奠基人。他致力於研究實變函數論及泛函分析，在函數度量理論的一系列工作使其成為這個領域中的一流數學家。
菲赫金哥爾茨講學30餘年的數學分析課程，蘇聯數學家伊西多爾·保羅維奇·那湯松、謝爾蓋·里沃維奇·索伯列夫、Dmitry Konstantinovich Faddeev，力學家Sergey Khristianovich，以及諾貝爾經濟學獎得主坎托羅維奇都是他的學生。此外，他還是蘇聯第一屆數學奧林匹克的發起人、20世紀30年代蘇聯中學數學教學大綱的制定者。
目錄
[編輯]第一卷
[編輯]- 緒論 實數
- 第一章 極限論
- §1 整序變量及其極限
- §2 極限的定理．若干容易求得的極限
- §3 單調整序變量
- §4 收斂原理．部分極限
- 第二章 一元函數
- §1 函數概念
- §2 函數的極限
- §3 無窮小及無窮大的分階
- §4 函數的連續性及間斷
- §5 連續函數的性質
- 第三章 導數及微分
- §1 導數及其求法
- §2 微分
- §3 微分學的基本定理
- §4 高階導數及高階微分
- §5 泰勒公式
- §6 插值法
- 第四章 利用導數研究函數
- §1 函數動態的研究
- §2 凸（與凹）函數
- §3 函數的作圖
- §4 不定式的定值法
- §5 方程的近似解
- 第五章 多元函數
- §1 基本概念
- §2 連續函數
- §3 多元函數的導數及微分
- §4 高階導數及高階微分
- §5 極值．最大值及最小值
- 第六章 函數行列式及其應用
- §1 函數行列式的性質
- §2 隱函數
- §3 隱函數理論的一些應用
- §4 換元法
- 第七章 微分學在幾何上的應用
- 附錄 函數擴充的問題
第二卷
[編輯]- 第八章 原函數（不定積分）
- §1 不定積分與它的計算的最簡單方法
- §2 有理式的積分
- §3 某些含有根式的函數的積分
- §4 含有三角函數與指數函數的表達式的積分
- §5 橢圓積分
- 第九章 定積分
- §1 定積分的定義與存在條件
- §2 定積分的一些性質
- §3 定積分的計算與變換
- §4 定積分的一些應用
- §5 積分的近似計算
- 第十章 積分學在幾何學、力學與物理學中的應用
- 第十一章 常數項無窮級數
- §1 引言
- §2 正項級數的收斂性
- §3 任意項級數的收斂性
- §4 收斂級數的性質
- §5 累級數與二重級數
- §6 無窮乘積
- §7 初等函數的展開
- §8 藉助於級數作近似計算
- §9 發散級數的求和法
- 第十二章 函數序列與函數級數
- 第十三章 反常積分
- §1 積分限為無窮的反常積分
- §2 無界函數的反常積分
- §3 反常積分的性質與變形
- §4 反常積分的特別計算法
- §5 反常積分的近似計算
- 第十四章 依賴於參數的積分
- §1 基本理論
- §2 積分的一致收斂性
- §3 積分一致收斂性的應用
- §4 補充
- §5 歐拉積分
第三卷
[編輯]- 第十五章 曲線積分、斯蒂爾切斯積分
- §1 第一型曲線積分
- §2 第二型曲線積分
- §3 曲線積分與道路無關的條件
- §4 有界變差函數
- §5 斯蒂爾切斯積分
- 第十六章 二重積分
- §1 二重積分的定義及簡單性質
- §2 二重積分的計算
- §3 格林公式
- §4 二重積分中的變量變換
- §5 反常二重積分
- 第十七章 曲面面積、曲面積分
- §1 雙側曲面
- §2 曲面面積
- §3 第一型曲面積分
- §4 第二型曲面積分
- 第十八章 三重積分及多重積分
- §1 三重積分及其計算
- §2 高斯－奧斯特洛格拉得斯基公式
- §3 三重積分中的變量變換
- §4 場論初步
- §5 多重積分
- 第十九章 傅里葉級數
- §1 導言
- §2 函數的傅里葉展開式
- §3 補充
- §4 傅里葉級數的收斂特性
- §5 與函數可微分性相關的餘項估值
- §6 傅里葉積分
- §7 應用
- 第二十章 傅里葉級數（續）
- §1 傅里葉級數的運算．完全性與封閉性
- §2 廣義求和法在傅里葉級數上應用
- §3 函數的三角展開式的唯一性
- 附錄 極限的一般觀點
註釋
[編輯]- ^ Fikhtengolz. （原始內容存檔於2009-10-09）.