玻茲曼分佈

玻茲曼分佈（Boltzmann distribution / Gibbs distribution）係一個統計力學嘅概率分佈。玻茲曼分佈係一個系統喺某個狀態嘅機會率，而佢會隨嗰個系統嘅溫度改善。玻茲曼分佈可以寫成：$p_{i}\propto e^{-{\varepsilon _{i}}/{(kT)}}$ 。 $p_{i}$係系統喺 $i$ 狀態嘅機率，$\propto$ 代表正比，$e$ 係自然底數，$\varepsilon _{i}$係 $i$ 狀態嘅能量，而 $k$ 同 $T$ 係波茲曼常數同呢個系統嘅溫度。

玻茲曼分佈係以波茲曼嘅名嚟命名嘅，佢喺 1868 年喺研究氣體熱平衡嘅統計力學時第一次提出嚟。波茲曼嘅統計學工作係喺佢嘅論文《關於熱力學第二基本定理同熱平衡條件嘅概率計算之間嘅關係》度有所體現。之後，約西亞·威拉德·吉布斯喺 1902 年以現代通用形式廣泛研究咗呢個分佈。

唔好將玻茲曼分佈同麥士維-波茲曼分佈或者麥士維-波茲曼統計搞亂。波茲曼分布定律係以能量作為系統嘅某個狀態嘅機率分佈嚟表示，而 麥士維-波茲曼分佈則係表示理想氣體粒子速度或者能量嘅機率分佈。不過，一維氣體嘅能量分佈的確係遵循波茲曼分佈。

分佈

玻茲曼分佈可以寫成：

$p_{i}={\frac {1}{Q}}}{e^{-{\varepsilon }_{i}/(kT)}={\frac {e^{-{\varepsilon }_{i}/(kT)}}{\sum _{j=1}^{M}{e^{-{\varepsilon }_{j}/(kT)}}}}$

$p_{i}$係系統喺 $i$ 狀態嘅機率，$\propto$ 代表正比，$e$ 係自然底數，$\varepsilon _{i}$係 $i$ 狀態嘅能量，而 $k$ 同 $T$ 係波茲曼常數同呢個系統嘅溫度。$Q$係配分函數（Canonical Partition Function）。

$Q={\sum _{i=1}^{M}{e^{-{\varepsilon }_{i}/(kT)}}}$

佢令到所有狀態嘅機率 $p_{i}$ 加埋會變咗做 1。

例子

一個雙態系統有兩個狀態，基態（Ground State）同埋激發態（Excited State）。如果佢地嘅能量分別係 $0$ 同 $E$ 嘅話，咁依個雙態系統喺基態同激發態嘅機率就係 $1/[\exp(-E/kT)+1]$ 同 $\exp(-E/kT)/[\exp(-E/kT)+1]$。如果 $E$ 同 $T$ 都係正數嘅話，咁基態出現嘅機率就會大過激發態。