Eksponencijalna funkcija

Eksponencijalna funkcija je funkcija u matematici. Primjena ove funkcije na vrijednost x se zapisuje kao e^x, gdje je e matematička konstanta, baza prirodnog logaritma, koja približno iznosi 2,718281828,te je poznata pod nazivom Eulerov broj. Često, ovo se može napisati u obliku exp(x).

The exponential function is nearly flat (climbing slowly) for negative values of x, climbs quickly for positive values of x, and equals 1 when x is equal to 0. Its y value always equals the slope at that point.

Ako funkcija od realne varijable x, grafik od y = e^x je uvijek pozitivan (iznad x ose) i rastući (gledato s lijeva na desno). Funkcija nikada ne dodiruje x osu, iako se proizvoljno blizu približi istoj (tako da je x osa horizontalna asimptota grafika). Njena inverzna funkcija, prirodni logaritam, ln(x), je definisan za sve pozitivne x. Za eksponencijalnu funkciju se nekad kaže da je antilogaritam. Međutim, ova terminologija se, u zadnje vrijeme, manje koristi.

Ponekad, posebno u naukama, termin eksponencijalna funkcija se općenito koristi za funkcije oblika cb^x, gdje je b, predstavljajući bazu, bilo koji pozitivan realan broj, a ne mora nužno biti e. Pogledajte članak eksponencijalni rast za više informacija o ovoj upotrebi.

Općenito, varijabla x može biti bilo koji realan ili kompleksan broj, ili čak potpuno druga vrsta matematičkog objekta; pogledajte formalnu definiciju ispod.

Formalna definicija

Glavni članak: Karakterizacije eksponencijalne funkcije

Eksponencijalna funkcija (plavo), i suma prvihh n+1 članova potencijalnog reda lijevo (crveno).

Eksponencijalna funkcija e^x može se definisati, na razne ekvivalnetne načine, kao beskonačan red. Tačnije, može se definisati pomoću potencijalnog reda:

$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\cdots$.

Uočite da ova definicija ima oblik Taylorovog reda. Koristeći druge definicije za eksponencijalnu funkciju trebale bi dovesti do istog rezultata kada se proširi u Taylorov red.

Rjeđe, e^x je definisano kao rješenje y jednačine

$x=\int _{1}^{y}{dt \over t}.$

Također, to je slijedeća granična vrijednost:

$e^{x}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.$

Neprekidni razlomci za e^x

Preko Eulerovog identiteta:

$\,\ e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots =1+{\cfrac {x}{1-{\cfrac {x}{x+2-{\cfrac {2x}{x+3-{\cfrac {3x}{x+4-{\cfrac {4x}{x+5-{\cfrac {5x}{\ddots }}}}}}}}}}}}$

Naprednije tehnike su neophodne da se napiše sljedeće:

$\,\ e^{2m/n}=1+{\cfrac {2m}{(n-m)+{\cfrac {m^{2}}{3n+{\cfrac {m^{2}}{5n+{\cfrac {m^{2}}{7n+{\cfrac {m^{2}}{9n+{\cfrac {m^{2}}{\ddots }}}}}}}}}}}}\,$

Ako stavimo da je m = x i n = 2, dobijamo

$\,\ e^{x}=1+{\cfrac {2x}{(2-x)+{\cfrac {x^{2}}{6+{\cfrac {x^{2}}{10+{\cfrac {x^{2}}{14+{\cfrac {x^{2}}{18+{\cfrac {x^{2}}{\ddots }}}}}}}}}}}}\,$

Eksponencijalna funkcija u kompleksnoj ravni

Eksponencijalna funkcija može se definisati i u kompleksnoj ravni na nekoliko ravnopravnih načina. Neki od njih odražavaju iste izraze kao i za eksponencijalne funkcije realne varijable. Na primjer, eksponencijalna funkcija kompleksne varijable može se izraziti u obliku potencijalnog reda, gdje su realne vrijednosti zamijenjene kompleksnima:

$\,\!\,e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}$

Koristeći ovu definiciju jednostavno je pokazati da jednakost

${d \over dz}e^{z}=e^{z}$

vrijedi i u kompleksnoj ravni.

Razmatrana kao funkcija definisana u kompleksnoj ravni, eksponencijalna funkcija zadržava svoje osnovne osobine:

$\,\!\,e^{z+w}=e^{z}e^{w}$

$\,\!\,e^{0}=1$

$\,\!\,e^{z}\neq 0$

$\,\!\,{d \over dz}e^{z}=e^{z}$

za sve kompleksne brojeve z i w. Eksponencijalna funkcija može biti i periodička kada je funkcija imaginarnog argumenta perioda $2\pi i$, jer vrijedi

$\,\!\,e^{a+bi}=e^{a}(\cos b+i\sin b)$

i

$\,e^{z}=e^{x}e^{yi}=e^{x}(\cos y+i\sin y)=e^{x}\cos y+ie^{x}\sin y.$

gdje su a i b realne vrijednosti. Jednakost povezuje eksponencijalnu funkciju s trigonometrijskim funkcijama i dalje s hiperboličkim funkcijama. Štaviše, može se definisati i funkcija oblika a^b, gdje su i a i b kompleksne veličine.

Pojam prirodnog logaritma se može također proširiti i na funkciju kompleksnog argumenta ln(z), gdje možemo definisati općenitije da je

$\,\!\,z^{w}=e^{w\ln z}$

za sve kompleksne brojeve z i w. Ovo je također višeznačna funkcija i identitet vrijedi ukoliko se uzme u obzir višeznačnost funkcije. Naime, upravo zbog višeznačnosti funkcije općenito ne vrijedi pravilo množenja eksponenata za pozitivne realne brojeve

$\,\!\,(e^{z})^{w}\neq e^{\left(zw\right)}$

Izračunavanje e^z za kompleksan z

Ovo slijedi direktno iz formule

$\,e^{x+yi}=e^{x}e^{yi}=e^{x}(\cos(y)+i\sin(y))=e^{x}\cos(y)+ie^{x}\sin(y).$

Uočite da je argument y kod trigonometrijskih funkcija realan.

Također pogledajte

• e (broj)
• Karakterizacije eksponencijalne funkcije
• Tetracija
• Eksponencijalni rast
• Eksponencijacija
• Spisak integrala eksponencijalnih funkcija
• Spisak tema o eksponencijalima

Vanjski linkovi

• Eric W. Weisstein, Exponential Function na MathWorld-u.
• Complex Exponential Function Module by John H. Mathews
• Taylor Series Expansions of Exponential Functions at efunda.com
• Complex exponential interactive graphic