Pentagon

Pentagon rheolaidd

Castell Holt, ar lan Afon Dyfrdwy ym mwrdeistref sirol Wrecsam. Codwyd y castell ar ffurf pentagon.

Pentagon (allanol) a phentagon serennog.

Mewn geometreg, pentagon yw unrhyw siâp pum-ochr neu 5-gon. Mae swm onglau mewnol pob pentagon syml yn 540°. Gall pentagon fod yn syml neu'n hunan-groestori; gelwir pentagram sy'n hunan-groestori yn rheolaidd neu'n 'bentagon serennog' (gweler Pentagram).

Daw'r gair 'pentagon' o'r Groeg πέντε pente a γωνία gonia, sef "pump ac ongl".

Pentagonau rheolaidd

Symbol Schläfli y pentagon rheolaidd yw {5} ac mae pob ongl fewnol yn 108°; mae'n dilyn felly bod

5 x 108 = 540°.

Mae ganddo hefyd 5 llinell cymesuredd tro (neu 'cymesuredd cylchdro'.) a 5 llinell adlewyrchol. Mae croesliniau'r pentagon rheolaidd amgrwm o fewn y 'gymhareb aur', i'w ochrau. Mae ei uchter (y pellter o un ochr i'r fertig cyferbyn) a'i led, yn cael ei dangos fel:

${\text{Uchder}}={\frac {\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}{2}}\cdot {\text{Ochr}}\approx 1.539\cdot {\text{Ochr}},$

${\text{Lled}}={\text{Diagonal}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\cdot {\text{Ochr}}\approx 1.618\cdot {\text{Ochr}},$

${\text{Croeslin}}=R\ {\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}=2R\cos 18^{\circ }=2R\cos {\frac {\pi }{10}}\approx 1.902R,$

lle dynodir R yn radiws yr amgylch.

Gellir dynodi arwynebedd pentagon rheolaidd amgrwm, gydag ochrau o hyd t fel:

$A={\frac {t^{2}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}{4}}={\frac {5t^{2}\tan(54^{\circ })}{4}}\approx 1.720t^{2}.$

Defnyddir y gair pentagram (neu 'bentongl') weithiau am yn bentagon serennog. Ei symbol Schläfli yw {5/2}. Mae ei ochrau'n ffurfio croeslinau pentagon rheolaidd amgrwm, ac yn y ffurf hwn mae ochrau'r ddau bentagon o fen y gymhareb aur.

Pan fo'r pentagon rheolaidd o fewn mewngylch, gyda radiws r, yna dynodir hyd ei ochrau t fel:

$t=R\ {\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}=2R\sin 36^{\circ }=2R\sin {\frac {\pi }{5}}\approx 1.176R,$

a'i arwynebedd yw:

$A={\frac {5R^{2}}{4}}{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}};$

gan fod arwynebedd y mewngylch yn $\pi R^{2},$ mae'r pentagon rheolaidd yn llenwi tua 0.7568 o'i fewngylch.

Deilliant o fformiwla ei arwynebedd

Arwynebedd pob polygon rheolaidd yw :

$A={\frac {1}{2}}Pr$

lle dynodir P fel perimedr y polygon ac r yw'r mewn- radiws (sy'n hafal i'r apothem). Pe amnewidir gwerthoedd y pentagon rheolaidd p ac r, yna:

$A={\frac {1}{2}}\cdot 5t\cdot {\frac {t\tan(54^{\circ })}{2}}={\frac {5t^{2}\tan(54^{\circ })}{4}}$

gyda hyd yr ochrau yn t.

Mewn-radws

Mae gan bod polygon rheolaidd amgrwm fewngylch. Mae'r apotherm (radiws r y mewngylch) y pentagon rheolaidd yn perthyn i hyd yr ochrau t drwy:

$r={\frac {t}{2\tan(\pi /5)}}={\frac {t}{2{\sqrt {5-{\sqrt {20}}}}}}\approx 0.6882\cdot t.$

Enghreifftiau o bentagram a phentagonau ym myd natur

Planhigion

• 
  Croestoriad o'r ocra.
• 
  Tegwch y bores.
• 
  Gynoeciwm afal, sy'n cynnwys 5 carpel ar ffurf pentagon serennog.
• 
  Y ffrwyth Carambola.

Anifeiliaid

• 
  Seren fôr. Mae gan lawer o'r echinodermau gymesuredd.
• 
  Draenog môr.
• 
  Yr ophiuroids

Mineralau

• 
  Grisial Ho-Mg-Zn
• 
  Grisial pyritohedron crystal of pyrit. Mae ganddo 12 arwyneb polygon.
• 
  Sarn y Cawr, Iwerddon

Artiffisial

• Castell Holt
• 
  Y Pentagon, pencadlys adran "amddiffyn" Unol Daleithiau America.
• 
  Llain cartref pêl-fas