Kymmenkulmio

Säännöllinen kymmenkulmio

Kymmenkulmio eli dekagoni on monikulmio, jossa on kymmenen kulmaa ja sivua. Kymmenkulmion kulmien summa on 1440 astetta. Säännöllisen kymmenkulmion kaikki sivut ovat yhtä pitkiä sekä jokainen kulma on 144 astetta.

Säännöllisen kymmenkulmion keskipisteen kautta kulkevat lävistäjät eli kymmenkulmion halkaisijat jakavat kuvion kymmeneen kultaiseen kolmioon, joissa kulmat ovat 36, 72 ja 72 astetta. Tämän kolmion ominaisuuksien avulla voidaan todistaa, että säännöllisen kymmenkulmion halkaisijan puolikkaan suhde kuvion sivuun on sama kuin kultaisen leikkauksen suhdeluku, noin 1,618034.

Säännöllisen kymmenkulmion pinta-ala A, jonka sivun pituus on a, lasketaan seuraavalla kaavalla.

$A={\frac {5}{2}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{10}}={\frac {5a^{2}}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\simeq 7{,}694208843a^{2}$

Konstruointi

10-kulmion piirtäminen harpin ja viivottimen avulla.

Säännöllinen kymmenkulmio voidaan konstruoida harpin ja viivaimen avulla seuraavasti:

Piirretään ensin ympyrä ja sen halkaisija. Halkaisijan kumpikin päätepiste (suoran ja ympyränkehän leikkauspiste), A ja B keskipisteenä piirretään ympyrät, jotka kulkevat halkaisijan toinen päätepisteen kautta. Nämä ympyrät leikkaavat toisensa kahdessa pisteessä alkuperäisen ympyrän ulkopuolella. Piirretään näiden leikkauspisteiden kautta suora, joka on alkuperäisen halkaisijan keskinormaali. Tämä keskinormaali leikkaa alkuperäisen ympyrän kahdessa pisteessä, joille käytetään merkintöjä C ja D. Alkuperäisen halkaisijan oikeanpuoleinen päätepiste A keskipisteenä piirretään ympyrä, joka kulkee alkuperäisen ympyrän keskipisteen O kautta. Se leikkaa alkuperäisen ympyrän kahdessa pisteessä. Yhdistetään ne suoralla. Tämä suora on yhtä etäällä alkuperäisen ympyrän keskipisteestä O ja pisteestä A, koska molemmilla ympyröillä on sama säde OA. Merkitään E:llä sitä pistettä, jossa tämä suora leikkaa alkuperäisen ympyrän halkaisijan BOA:

Piirretään jana, joka yhdistää tämän pisteen E sekä alkuperäisen ympyrän halkaisijan keskinormaalin ja ympyrän leikkauspisteen C. Piirretään E keskipisteenä ympyrä, joka kulkee O:n kautta. Se leikkaa janan EC pisteessä F. Janan EF pituus on sama kuin EO:n eli puolet alkuperäisen ympyrän säteestä OA, joka saman ympyrän säteenä on myös yhtä pitkä kuin jana OE. Janan EC pituus on Pythagoraan lauseen mukaan ${\sqrt {(OG)^{2}+(OH)^{2}}}={\sqrt {r^{2}+{\frac {r}{2}}^{2}}}=r{\frac {\sqrt {5}}{2}}$,
missä r on alkuperäisen ympyrän säde OA. Janan osuuden CF pituus saadaan vähentämällä tästä osuus EF = r/2, joten se on

$r{\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}$.

Piste J siis jakaa janan GH kultaisen leikkauksen mukaisessa suhteessa. Piste C keskipisteenä piirretään ympyrä, jonka kulkee pisteen F kautta ja jonka säde on siis

$r{\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}$.

Se leikkaa alkuperäisen ympyrän kahdessa pisteessä, jotka ovat tällä etäisyydellä ympyrän keskipisteestä. Koska tämä luku on samalla myös ympyrän sisään piirretyn säännöllisen kymmenkulmion sivun suhde ympyrän säteeseen, piste C ja nämä kaksi leikkauspistettä ovat kolme säännöllisen kymmenkulmion kärkipisteistä. Muut kärkipisteet saadaan piirtämällä nämä leikkauspiteet keskipisteenä samansäteiset ympyrät, kunnes koko ympyrän kehä on näillä leikkauspiteillä jaettu kymmeneen yhtä suureen osaan. Lopuksi yhdistetään nämä leikkauspisteet janoilla, jotka muodostavat säännöllisen kymmenkulmion.

Katso myös

• Kymmenkulmioluku
• Monikulmio