오일러 특성류

대수적 위상수학에서 오일러 특성류(Euler特性類, 영어: Euler characteristic class)는 유향 실수 벡터 다발에 의하여 정의되는 특성류이다. 거칠게 말해 벡터 다발이 얼마나 ‘뒤틀려 있는지’를 나타낸다. 다양체의 접다발의 오일러 특성류는 오일러 지표와 같다.

정의

톰 동형에 의한 정의

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 위상 공간 $X$
• 유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{n}$을 올로 하는 $X$ 위의 벡터 다발 $E$와 사영 $\pi \colon E\to X$
• $E$ 위에 정의된 방향. 다시 말해 각 $x\in X$에 대하여 정수 계수 상대 코호몰로지류 $\operatorname {H} ^{n}(E_{x},E_{x}\setminus \{0\};\mathbb {Z} )$를 부여하며 이 대응은 연속적이다.

$E\setminus X=\bigcup _{x\in X}(E_{x}\setminus \{0_{E_{x}}\})$로 정의하면, 방향으로부터 톰 동형^{:97, §9}

$\phi \colon \operatorname {H} ^{\bullet }(X;\mathbb {Z} )\to \operatorname {H} ^{\bullet +n}(E,E\setminus X;\mathbb {Z} )$

$\phi \colon x\mapsto (\pi ^{*}x)\smile u$

가 존재하므로 정수 계수 상대 코호몰로지류 $u\in \operatorname {H} ^{n}(E,E\setminus X;\mathbb {Z} )$를 특정할 수 있다.

한편, 사상 $C_{\bullet }(X)\hookrightarrow C_{\bullet }(E)\twoheadrightarrow C_{\bullet }(E)/C_{\bullet }{(E\setminus X)}$에 의한 코호몰로지끼리의 사상

$\operatorname {H} ^{n}(E,E\setminus X;\mathbb {Z} ){\overset {q^{*}}{\to }}\operatorname {H} ^{n}(E){\overset {{\pi ^{-1}}^{*}}{\to }}\operatorname {H} ^{n}(X)$

가 존재하는데, 이를 통해 코호몰로지류

${\pi ^{-1}}^{*}q^{*}u\in \operatorname {H} ^{n}(X;\mathbb {Z} )$

를 만들 수 있으며 이를 $E$의 오일러 특성류 $\operatorname {e} (E)$로 정의한다.^{:98, §9}

성질

오일러 특성류는 다른 특성류와 마찬가지로 다음과 같은 공리적 성질들을 만족시킨다.

• 함자성: 임의의 두 유향 실수 벡터 다발 $E\twoheadrightarrow X$, $E\twoheadrightarrow Y$ 및 향을 보존하는 연속 올다발 사상 $F\to E$에 대하여, $\operatorname {e} (F)=(f\upharpoonright Y)^{*}\operatorname {e} (E)$.
• 합에 대한 분해: 임의의 두 유향 실수 벡터 다발 $E\twoheadrightarrow X$, $E\twoheadrightarrow X$에 대하여, $\operatorname {e} (E\oplus F)=\operatorname {e} (E)\smile \operatorname {e} (F)$.
• 만약 $E$에 반대 방향을 부여한 것을 ${\bar {E}}$라고 한다면, $\operatorname {e} ({\bar {E}})=-\operatorname {e} (E)$

또한, 오일러 특성류는 다음과 같은 특성을 갖는다.

만약 $E$가 어디서도 0이 아닌 단면을 갖는다면, $\operatorname {e} (E)=0$

즉, 오일러 특성류는 실수 벡터 다발이 어디서도 0이 아닌 단면을 갖는 것의 방해물이다. 그러나 오일러 특성류는 어디서도 0이 아닌 단면의 존재의 필수 조건이지만 충분 조건이 아니다.^{:Example 23.16}

다른 특성류와의 관계

표준적 몫환 준동형

$(+2\mathbb {Z} )\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /{2\mathbb {Z} }=\mathbb {F} _{2}$

으로 유도되는 사상

$(+2\mathbb {Z} )_{*}\colon \operatorname {H} ^{\bullet }(X;\mathbb {Z} )\to \operatorname {H} ^{\bullet }(X;\mathbb {F} _{2})$

아래, 오일러 특성류의 상은 최고차 슈티펠-휘트니 특성류이다.

$(+2\mathbb {Z} )_{*}\operatorname {e} (E)=\operatorname {w} _{n}(E)$

임의의 $k$차원 복소수 벡터 다발 $E$는 $2n$차원 유향 실수 벡터 다발로 여길 수 있다. 이 경우, 오일러 특성류는 최고차 천 특성류와 같다.

$\operatorname {e} (E)=\operatorname {c} _{n}(E)$

$2n$ 차원 유향 벡터 다발 $E$의 오일러 특성류의 제곱은 최고차 폰트랴긴 특성류와 같다.

$\operatorname {e} (E)\smile \operatorname {e} (E)=\operatorname {p} _{n}(E)$

매끄러운 다양체의 경우

$M$이 $n$차원 연결 유향 매끄러운 다양체라고 하자. 그렇다면, 그 접다발 $\operatorname {T} M$은 유향 실수 매끄러운 벡터 다발이다. 그 오일러 특성류와 기본류 $[M]\in \operatorname {H} _{n}(M;\mathbb {Z} )$의 교곱은 $\operatorname {H} _{0}(M;\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z}$의 원소이며 그 값은 오일러 지표와 같다.

$[M]\frown \operatorname {e} (\mathrm {T} M)=\chi (M)$

다시 말해 오일러 특성류는 오일러 지표의 일반화라 할 수 있다.

역사

르네 톰

르네 톰은 슈티펠-휘트니 특성류를 일반화한 특성류가 오일러 지표와 관련이 있다는 것을 발견했다. 그 이후 ‘오일러 특성류’라는 이름이 붙었다.

외부 링크

• “Euler class”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Euler class”. 《nLab》 (영어). 
• “Vanishing of Euler class”. 《Math Overflow》 (영어). 
• “How to interpret the Euler class?”. 《Math Overflow》 (영어).