Breuksplitsing

Breuksplitsing of splitsen in partiële breuken is het herschrijven van een rationale functie als de som van een polynoom en een of meer rationale functies waarvan de noemers machten van irreducibele polynomen zijn, en waarvan de tellers telkens een kleinere graad hebben dan de irreducibele polynoom in de noemer.

In het meest voorkomende geval beschouwen we polynomen en rationale functies met reële coëfficiënten. In die context hebben irreducibele polynomen graad 1 of 2, en de bijhorende tellers zijn dus constanten of polynomen van de eerste graad. Voor de irreducibele polynomen in de noemers kan men de irreducibele delers van de noemer van de oorspronkelijke rationale functie kiezen. De machten waarin ze optreden hoeven ook niet groter te zijn dan de macht waarmee ze voorkomen in de factorisatie van die oorspronkelijke noemer.

Voorbeeld

We zoeken een breuksplitsing van de rationale functie

${1 \over x^{2}-1}$.

De ontbinding van de noemer in factoren luidt

${x^{2}-1=(x-1)(x+1)}$.

Er zijn dus twee irreducibele delers, allebei eerstegraadspolynomen, die allebei in de eerste macht staan. Breuksplitsing bestaat dan in het vinden van constanten $A$ en $B$ zodat

${1 \over (x-1)(x+1)}={A \over x-1}+{B \over x+1}$

Door beide leden met de noemer van het linkerlid te vermenigvuldigen, en het linker- en rechterlid graad per graad aan elkaar gelijk te stellen, vinden we

${A={\tfrac {1}{2}},B=-{\tfrac {1}{2}}}$

Toepassing in de integraalrekening

Het nut van breuksplitsing bestaat erin dat de termen van het resultaat relatief eenvoudig te integreren zijn; breuksplitsing levert dus een methode voor het systematisch integreren van rationale functies. Van iedere rationale functie kan, theoretisch, altijd een primitieve functie worden berekend door de vorm van de rationale functie geschikt te wijzigen en daarna de ontstane onderdelen op de gebruikelijke manier te integreren. In de berekende som staan een polynoom in $x$ en een eindig aantal breuken met in de teller ofwel alleen een constante en in de noemer een macht van een lineaire factor in $x,$ ofwel in de teller een lineaire factor in $x$ en in de noemer een macht van een irreducibele tweedegraadspolynoom in $x.$ Als de coëfficiënten van zowel de teller als de noemer van de rationale functie functie waarvan de primitieve moet worden gevonden, geheel zijn, zijn alle getallen in de berekende som rationaal. Van elk van de breuken in de berekende som kan de primitieve worden berekend.

In het algemene geval moeten daarvoor de volgende stappen gezet worden:

1. Door staartdeling van polynomen de breuk opdelen in een polynoom en een rationale functie waarvan de graad van de teller lager is dan de graad van de noemer.
2. De polynoom in de noemer ontbinden in factoren van lineaire factoren en irreducibele tweedegraadspolynomen.
3. De breuk splitsen in een som van breuken.
4. Van iedere aparte som de primitieve berekenen.

Voorbeeld

We passen het stappenplan toe om de onbepaalde integraal te vinden voor de rationale functie ${1 \over x^{2}-1}$ uit het eerste voorbeeld.

1. Staartdelen is overbodig, omdat de graad van de teller al kleiner is dan de graad van de noemer.
2. We hebben de noemer ontbonden in factoren: ${x^{2}-1=(x-1)(x+1)}$.
3. Opsplitsen van de breuk: ${{1 \over (x-1)(x+1)}={1 \over 2(x-1)}-{1 \over 2(x+1)}}$.
4. Beide termen van het rechterlid hebben een natuurlijke logaritme als primitieve en de gezochte primitieve is daarmee gevonden:

$\int {dx \over x^{2}-1}=\ln {\sqrt {x-1 \over x+1}}+C$.

Concrete oplossingsmethoden

Enkelvoudige reële wortels: Limietprocedure

In het geval dat de noemer geschreven kan worden als een product van enkelvoudige verschillen van $x$ en een constante kunnen de onbekende factoren worden bepaald met de zogenaamde 'limietprocedure'. Het mooie is dat dit allemaal limieten zijn die gewoon kunnen worden ingevuld en er dus niet echt een limiet moet worden berekend. Stel dat de breuk kan worden geschreven in de vorm:

$B(x)={\frac {\mathrm {teller} (x)}{(x-a_{1})\ldots (x-a_{i})\ldots (x-a_{n})}}$

waarbij de wortels $a_{i}$ allemaal verschillend zijn en waarbij natuurlijk de graad van de polynoom in de teller kleiner is dan de volledige graad van de noemer.

De breuksplitsing wordt dan:

$B(x)={\frac {A_{1}}{x-a_{1}}}+\ldots +{\frac {A_{i}}{x-a_{i}}}+\ldots +{\frac {A_{n}}{x-a_{n}}}$

Eerst worden nu beide bovenstaande uitdrukkingen voor $B(x)$ aan elkaar gelijkgesteld en worden beide leden vermenigvuldigd met $(x-a_{i})$:

${\frac {A_{1}(x-a_{i})}{(x-a_{1})}}+\ldots +A_{i}+\ldots +{\frac {A_{n}(x-a_{i})}{(x-a_{n})}}={\frac {\mathrm {teller} (x)}{(x-a_{1})\ldots (x-a_{i-1})(x-a_{i+1})\ldots (x-a_{n})}}$

Het is duidelijk dat wanneer in deze uitdrukking $x$ gelijk aan $a_{i}$ wordt gesteld, links alle termen behalve $A_{i}$ wegvallen. In het rechter lid kan ook de waarde $a_{i}$ worden ingevuld:

$A_{i}={\frac {\mathrm {teller} (a_{i})}{(a_{i}-a_{1})\ldots (a_{i}-a_{i-1})(a_{i}-a_{i+1})\ldots (a_{i}-a_{n})}}$

Dit levert dus een directe manier om de coëfficiënten van de splitsing te bepalen. Eenvoudig gezegd komt dit neer op het volgende:

Om $A_{i}$ te bepalen wordt de factor $(x-a_{i})$ uit de noemer verwijderd en wordt vervolgens $a_{i}$ ingevuld in de overblijvende breuk.

Voorbeeld 1 : Enkelvoudige reële wortels

Stel:

$B(x)={\frac {3(x^{2}+1)}{(x-1)(x-3)(x+2)}}={\frac {A_{1}}{x-1}}+{\frac {A_{2}}{x-3}}+{\frac {A_{3}}{x+2}}$

Dan is:

$A_{1}={\frac {3(1^{2}+1)}{(1-3)(1+2)}}=-1$

$A_{2}={\frac {3(3^{2}+1)}{(3-1)(3+2)}}=3$

$A_{3}={\frac {3((-2)^{2}+1)}{((-2)-1)((-2)-3)}}=1$

Meervoudige reële wortels

Deze manier kan ook worden gebruikt voor het geval er meervoudige reële wortels zijn, behalve dat er dan nogal wat rekenwerk nodig is. Daarom is het doorgaans sneller de algemenere methode van de volgende paragraaf te gebruiken. Concreet kan de coëfficiënt op de grootste graad nog wel gemakkelijk met bovenstaande procedure gevonden worden. Zie hiervoor het voorbeeld 3.

Algemene methode

De algemene methode kan eveneens worden gebruikt wanneer er paren complex geconjugeerde wortels zijn, die te herkennen zijn aan het feit dat de noemer er in de breuk onsplitsbare termen van tweede graad voorkomen. Bij de algemene methode wordt de gesplitste uitdrukking weer onder één noemer gebracht en wordt de zo gevonden teller vergeleken met de teller van de oorspronkelijk te splitsen breuk. Uit de eis dat de coëfficiënten van gelijke machten links en rechts gelijk moeten zijn volgen sluitende voorwaarden voor de onbekende coëfficiënten van de splitsing. Om het rekenwerk te beperken zal men de enkelvoudig reële wortels eerst met de bovenstaande limietprocedure berekenen.

Voorbeeld 2: Complexe wortels

Stel:

$B(x)={\frac {16x+8}{(x-1)(x^{2}+2x+5)}}={\frac {A}{x-1}}+{\frac {Bx+C}{x^{2}+2x+5}}$

Dan kan $A$ worden berekend met de limietprocedure:

$A={\frac {16\cdot 1+8}{1^{2}+2\cdot 1+5}}=3$

Als de gesplitste breukvorm weer onder één noemer wordt gebracht, kunnen beide tellers aan elkaar gelijkgesteld worden;

$16x+8=A(x^{2}+2x+5)+(Bx+C)(x-1)$

Door te eisen dat de coëfficiënten van het kwadraat van x links en rechts gelijk zijn, vindt men:

$0=A+B$

en omdat $A$ reeds berekend werd, is $B$ direct bekend :

$B=-3$.

Door nu hetzelfde te doen met de constante termen links en rechts:

$8=5A-C$

vindt men:

$C=7$.

Merk op dat de gelijkheid van de eerstegraads (lineaire) termen niet werd gebruikt. Dit is omdat $A$ reeds vooraf werd bepaald. De gelijkheid van lineaire termen kan dus eventueel nog worden gebruikt als controle van de berekende resultaten.

De algemene methode komt dus neer op het oplossen van een stelsel van lineaire vergelijkingen, maar door enkelvoudige wortels eerst apart te zoeken en de overige eisen in een goede opeenvolging te gebruiken, kan op heel wat rekenwerk bespaard worden.

Voorbeeld 3: Meervoudige reële wortels

Neem als voorbeeld deze splitsing die een enkelvoudige wortel x=1, bevat en daarnaast nog een dubbele wortel x=2:

$B(x)={\frac {2x+1}{(x-1)(x-2)^{2}}}={\frac {A}{x-1}}+{\frac {B}{x-2}}+{\frac {C}{(x-2)^{2}}}$

Hier kan $A$ vooraf bepaald worden:

$A={\frac {2\cdot 1+1}{(1-2)^{2}}}=3$

Maar ook de coëfficiënt $C$ van de hoogste macht van x–2, kan zo bepaald worden. Ook hier wordt de eigen noemer van $C$ weggelaten uit de breuk:

$C={\frac {2\cdot 2+1}{2-1}}=5$

Alleen voor $B$ moet de algemene methode worden gevolgd, maar dit is weinig werk omdat $A$ en $C$ intussen bekend zijn. Door op één noemer te brengen en bijvoorbeeld de constante termen van de tellers te vergelijken vindt men:

$4A+2B-C=1$

zodat:

$B=-3$

Ook nu kunnen de coëfficiënten van de andere machten worden gebruikt om de resultaten nog eens extra te controleren.