Det gyldne snitt

Fasaden av Santa Maria Novella i Firenze. Her har Alberti brukt det gyldne snitt.

Det gyldne snitt (riksmål) eller det gylne snitt (bokmål og nynorsk) vil si deling av en linje eller en flate i to deler slik at den minste delen forholder seg til den største som denne til hele linjen eller flaten.

Uttrykt som φ (phi) tilsvarer dette et irrasjonalt tall med verdi

$\varphi ={1+{\sqrt {5}} \over 2}=\ 1,618\,033\,989\dots \,$

Man kan finne dette delingsforholdet igjen mange steder i naturen og spesielt på menneske­kroppen. Forholdet mellom lengden fra skulderen til fingertuppene og lengden fra albuen til fingertuppene, knokene på hånda og lengden på bena i forhold til lengden fra kneet til tærne er noen eksempler. Det er også et viktig visuelt virkemiddel innen kunsten. Det gyldne snitt var kjent blant grekerne. Det ble mye brukt i renessansen, særlig innen arkitektur. Det gyldne rektangel eller rektangler med tilnærmet de samme proporsjoner opptrer også i menneske­skapte ting i vårt dagligliv, som i formen på bankkort og fyrstikkesker.

Matematikk

Konstruksjon av et gyllent rektangel:
1. Konstruer et kvadrat.
2. Tegn en linje fra midtpunktet på en av sidene til et motstående hjørne.
3. Tegn en bue med denne linjen som radius så de til sammen utgjør den lange siden i rektangelet.

Det gyldne snitt bygger på en harmonisk deling av et linjestykke. Snittet deler linjestykket slik at forholdet mellom den lengste og den korteste delen er like stort som forholdet mellom hele linjestykket og den lengste delen av det.

Matematisk kan dette uttrykkes slik: Hvis linjestykket AB er delt i et punkt S slik at forholdet mellom AB og AS er lik forholdet mellom AS og BS sies S å dele AB i det gyldne snitt

Av definisjonen:

${\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}=\varphi$

Den høyre ligningen viser at $a=b\varphi$, som kan bli satt inn i den venstre halvdel, som da gir:

${\frac {b\varphi +b}{b\varphi }}={\frac {b\varphi }{b}}\,$

Stryke ut $b$ og multiplisere begge sider med $\varphi$ og ordne ligningen leder til:

$\varphi ^{2}-\varphi -1\ =\ 0\ .$

Det kan enkelt verifiseres at den eneste positive løsningen til denne annengradsligningen er

$\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1,618\,033\,989$

Det motsatte forhold er kjent som det konjugerte gyldne snitt og man bruker stor $\Phi$ for å angi dette:

$\Phi ={\frac {b}{a}}={1 \over \varphi }\approx 0,618\,033\,989$

Alternativt kan $\Phi$ uttrykkes som:

$\Phi =\varphi -1$

Dette illustrer den unike egenskapen (blant positive tall) med det gyldne snitt at:

${\frac {1}{\varphi }}=\varphi -1$

De to løsningene er innbyrdes inverse og har de samme desimalene.

Fibonaccitall

Den italienske matematikeren Leonardo Fibonacci fra Pisa er mest kjent for å ha «oppdaget» den kjente følgen av det som i dag kalles fibonaccitallene. Han beskrev disse tallene i sin første bok, Liber abbaci fra 1202. Følgen dannes ved å begynne med tallene 0 og 1, og så la de neste tallene i følgen være summen av de to foregående tallene. Den begynner slik:

0+1=1, 1+1=2, 1+2=3, 2+3=5, 3+5=8, 5+8=13. Tallene videre er 21, 34, 55, 89, 144, 233,...

Formelen for å finne det n-te tall i Fibonacci-følgen ble utviklet av Jacques Philippe Marie Binet i 1843:

$a_{n}={{\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}} \over {\sqrt {5}}}={{\varphi ^{n}-(-1/\varphi )^{n}} \over {\sqrt {5}}}\,,$

hvor

$\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1,618\,033\,989\dots \,$

er det gyldne snitt. Johannes Kepler påviste at Fibonacci-følgen konvergerer. Når fibonaccitallene går mot uendelig, vil forholdet mellom to påfølgende tall nærme seg stadig mer til grenseverdien φ eller det gyldne snitt. Fibonaccitallene er altså nært beslektet med det gyldne snitt og alle figurer som dette genererer, som det gyldne rektangel, det gyldne triangel, den gyldne spiral, pentagon og pentagram.

Fibonaccitallene opptrer i utallige naturfenomener, som måten blader blir organisert i mange planter, eller geometrien i en kongle, eller strukturen i en perlebåt.

Kunst

Menneskekroppens proporsjoner.

Leonardo da Vinci (1452 – 1519) åpnet en av sine bøker med følgende utsagn: La ingen som ikke er matematiker lese mitt arbeid!. Denne spissformuleringen viser kunstnerens interesse for matematikkfaget. Ved siden av å interessere seg for geometri, studerte han menneske­kroppen meget inngående. Han fant mange forhold på menneskekroppen som, ifølge ham selv, burde være lik det gyldne snitt for at det skulle være en perfekt kropp. Da Vinci hevdet at forholdet mellom høyden fra navlen og ned og høyden fra navlen og opp bør være lik det gyldne snitt. Det betyr at en person på 150 cm skal ha en navlehøyde på ca. 93 cm.

Mange billedkunstnere har, bevisst eller ubevisst, forholdt seg til det gyldne snitt i sine verker. Piet Mondrian arbeidet ofte lenge med elementene i sine Tableaux. Om han målte seg fram eller ikke, vet ingen, men de fleste dele­linjene i disse bildene faller sammen med gyldne snitt-proporsjoner.

Et BBC-program om ansikter og skjønnhet handlet i stor utstrekning om at ansikter som hadde flatene fordelt etter det gyldne snitt ble ansett av det brede publikum som mere tiltalende enn ansikter som ikke var det. De fleste populære skuespillere og modeller i dag faller inn under denne «normen».

Arkitektur

Den sveitsiskfødte franske arkitekten Le Corbusier var opptatt av harmoniske proporsjoner i arkitekturen og benyttet ofte det gyldne snitt som planleggingsverktøy. Hans Villa Stein i Garches (1927) har både i plan, oppriss og rominndeling rektangler som ligger nær det gyldne snitt. Han mente å se det gyldne snitt i menneskekroppens proporsjoner og festet seg ved at så mange førmoderne lengdemål over hele verden var knyttet til legemsdeler: alen (underarm), fot, tomme, favn, skritt osv. I 1948 utga han boken Le Modulor, hvor han beskrev et målesystem for arkitektur som han selv utviklet og tok i bruk i 1940-årene. Det var basert på det gyldne snitt, med utgangspunkt i en «ideell» mannskropp. Til å begynne med brukte han en gjennomsnittlig høy franskmann på 175 cm. Men underveis ombestemte han seg og tok i stedet utgangspunkt i 6 fot eller ca. 183 cm, som var idealhøyden for en britisk politimann, og dessuten mannens rekkevidde, en favn. Dermed fikk han knyttet sitt system til de gamle måle­systemene. Hvis man deler denne manns­kroppen etter det gyldne snitt, havner delings­linjen omtrent 113 cm over gulvet, og det tilsvarer navlehøyden. Videre deling etter forholdstallet $\varphi$ gir «den røde serie» med høyder på 70 cm (et spise- eller arbeidsbord), 43 cm (et stolsete), 27 cm (en krakk). Så laget han en annen nummerserie basert på det dobbelte av navlehøyden, 226 cm, som han mente var så høyt en stående mann med oppstrakt arm kunne nå. Ved å dele denne høyden etter det gyldne snitt fikk han «den blå serie» med lengdene 140 cm (en god høyde å hvile armene i stående stilling) og 86 cm, mannens skritthøyde og skrittlengde. I senere utgaver av boken viser han en rekke eksempler på bruk av Le Modulor, blant dem l'unité d'habitation i Marseille (1947 – 52).

Tidslinje

• Feidias (490 – 430 f.Kr.) laget Parthenon-statuen som inneholder det gyldne snitt-proporsjoner.
• Platon (427 – 347 f.Kr.), i sin Timaios beskriver han fem mulige former nå kjent som platonske legemer (pyramide, kube, oktaeder, dodekaeder og ikosaeder), hvor noen er relatert til det gyldne snitt.

Tresnitt fra De Divina Proportione av Luca Pacioli (1509) som beskriver hvordan det gyldne snitt kan beskrive forhold i menneskeansiktet.

• Evklid (ca. 365 – 265 f.Kr.). I sin bok Elementer gir han den første nedskrevne definisjonen av det gyldne snitt, som han kalte «ακρος και μεσος λογος». Senere ble dette oversatt til «proportio habens medium et duo extrema», som i dag betegnes som «deling i indre og ytre forhold».
• Luca Pacioli (1445 – 1517) definerer det gyldne snitt som et «guddommelig forhold» i sin bok De Divina Proportione.
• Johannes Kepler (1571 – 1630) beskriver det gyldne snitt som en «verdifull juvel»: «Geometri har to store skatter: en er Pytagoras’ læresetning, og det andre er delingen av en linje i ytre og indre forhold. Det første kan sammenlignes med en skjeppe gull; det andre kan vi kalle en verdifull juvel.»
• Charles Bonnet (1720 – 1793) poengterer at i spiralen phyllotaxis til planter som formes med og mot klokken ofte har fibonaccitallene som forholdstall.
• Martin Ohm (1792 – 1872) tror man er den første som bruker uttrykket «det gyldne snitt» for å beskrive dette forholdet.
• Edouard Lucas (1842 – 1891) gir den numeriske sekvensen kjent som Fibonacci-følgen dagens navn.
• Mark Barr (20. århundre) tilordner den første bokstaven i det greske navnet Phidias til det gyldne snitt.
• Roger Penrose (født 1931) finner en symmetri som benytter det gyldne snitt i feltet aperiodisk tesselering noe som ledet til oppdagelsen av kvasikrystaller.

Litteratur

• Arakelian, Hrant: Mathematics and History of the Golden Section, Logos 2014, 404 p. ISBN 978-5-98704-663-0 (rus.).
• Blatner, David: The joy of Pi. (http://www.joyofpi.com/)
• Dalvang, Tone og Rohde, Vetle: Matematikk for alle. Landslaget for matematikk i skolen, Landås 1998.
• Eibe, Thyra: Euklids Elementer. Oversat af Thyra Eibe. København, Gyldendal ; 1897 – 1917.
• Høyrup, Jens: Sub-Scientific Mathematics. History of Science, vol 28, 1979.
• Jama, Jama Musse: Ethnomathematics.(https://web.archive.org/web/20051210225149/http://www.dm.unipi.it/~jama/ethno/)
• Knott, Ron: Fibonacci Numbers and the Golden Section. (https://web.archive.org/web/20011205093346/http://www.ee.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/)
• Krause, M.: Multicultural mathematics material, NCTM 1983.
• Levin, Eddy: The Golden Proportion. (http://www.goldenmeangauge.co.uk/)
• Rossing, Nils Kr.: Den matematiske krydderhylle. Tapir akademisk forlag (7. utgave), 2007. (https://web.archive.org/web/20071107195152/http://butikk.tapirforlag.no/no/node/1047).
• Selvik, Bjørg K. (red): Matematiske sammenhenger: Geometri. Caspar forlag, 1999.
• Stewart, Ian: Life's other secret – The new Mathematics of Living World. Penguin books, 1999.

Eksterne lenker

• Søk etter Det+gylne+snitt i Bokmålsordboka og Nynorskordboka eller i Det Norske Akademis ordbok