Domknięcie (topologia)
Wygląd
Domknięcie, operacja domknięcia - w topologii, operacja przyporządkowująca podzbiorowi przestrzeni topologicznej najmniejszy (w sensie inkluzji) zbiór domknięty zawierający ten podzbiór.
Definicja
Niech będzie przestrzenią topologiczną. Domknięciem zbioru nazywamy najmniejszy w sensie inkluzji zbiór domknięty, oznaczany lub [1], zawierający . Innymi słowy:
- .
Uwagi
- Operacja domknięcia (określona na zbiorze potęgowym przestrzeni topologicznej) jest dobrze określona, gdyż rodzina wszystkich zbiorów domkniętych zawierających dany podzbiór przestrzeni jest niepusta, ponieważ należy do niej cała przestrzeń.
- W dowolnym zbiorze można określić topologię, wyróżniając przy pomocy tzw. operacji Kuratowskiego rodzinę zbiorów domkniętych.
- Jeśli jest przestrzenią topologiczną oraz , to następujące warunki są równoważne:
- ,
- dla każdej bazy otoczeń punktu i każdego mamy ,
- dla pewnej bazy otoczeń punktu i każdego mamy .
- Jeśli jest przestrzenią metryczną oraz , to
- , gdzie przez rozumie się odległość punktu od zbioru.
- Jeżeli jest przestrzenią spełniającą pierwszy aksjomat przeliczalności (np. przestrzenią metryczną) oraz , to
- jest granicą ciągu o wyrazach ze zbioru . Formalnie:
- .
- Z poprzedniego warunku mamy: w przestrzeni metrycznej domknięcie zbioru jest zbiorem wszystkich granic ciągów należących do danego zbioru. Okazuje się, że można sformułować podobny warunek dla dowolnej przestrzeni topologicznej :
- Jeśli , to jest granicą ciągu uogólnionego o wyrazach ze zbioru .
Własności
Niech będzie przestrzenią topologiczną oraz .
- ,
- (idempotentność).
Dalsze własności
- ,
- jest domknięty ,
- (monotoniczność),
- ; ta własność uogólnia się do przeliczalnej liczby zbiorów:
- Ogólniej, jeśli jest przeliczalną rodziną podzbiorów , to
.
- Ogólniej, jeśli jest przeliczalną rodziną podzbiorów , to
- Jeśli jest rodziną podzbiorów zbioru , to
. - Jeśli jest rodziną lokalnie skończoną podzbiorów zbioru , to
. - Domknięcie zbioru jest sumą mnogościową tego zbioru oraz jego brzegu.
- Jeśli jest podprzestrzenią topologiczną , zawierającą , to domknięcie w przestrzeni jest równe części wspólnej i domknięcia w przestrzeni : .
- Dla każdego mamy
Operacja domknięcia a topologia
Jeżeli operację brania domknięcia zbioru przyjmiemy jako pewną operację pierwotną na zbiorach, która spełnia cztery pierwsze własności, to może ona posłużyć do zdefiniowania topologii przez operację domknięcia w zbiorze . [2]
Przykłady
- W topologii antydyskretnej (czyli takiej, w której jedynymi zbiorami otwartymi są i ), domknięciem dowolnego zbioru niepustego jest cała przestrzeń, innymi słowy, każdy niepusty podzbiór tej przestrzeni jest gęsty.
- W topologii euklidesowej, na prostej rzeczywistej domknięciem
- przedziału otwartego jest przedział domknięty .
- zbioru liczb wymiernych jest .
- W przestrzeniach metrycznych, domknięcie danego zbioru stanowią wszystkie granice ciągów elementów tego zbioru.
Literatura
- Ryszard Engelking: Topologia Ogólna. Warszawa: PWN, 1976.
Zobacz też
- ↑ od ang. closure
- ↑ Ryszard Engelking: Topologia ogólna. Biblioteka Matematyczna. Tom 47. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1975, s. 36.