Domknięcie (topologia)

Domknięcie, operacja domknięcia - w topologii, operacja przyporządkowująca podzbiorowi przestrzeni topologicznej najmniejszy (w sensie inkluzji) zbiór domknięty zawierający ten podzbiór.

Definicja

Niech $(X,\tau )$ będzie przestrzenią topologiczną. Domknięciem zbioru $A\subseteq X$ nazywamy najmniejszy w sensie inkluzji zbiór domknięty, oznaczany ${\overline {A}}$ lub $\operatorname {cl} \;A$, zawierający $A$. Innymi słowy:

$\operatorname {cl} \;A=\bigcap \{F\subseteq X\colon A\subseteq F\land X\setminus F\in \tau \}$.

Uwagi

• Operacja domknięcia (określona na zbiorze potęgowym przestrzeni topologicznej) jest dobrze określona, gdyż rodzina wszystkich zbiorów domkniętych zawierających dany podzbiór przestrzeni jest niepusta, ponieważ należy do niej cała przestrzeń.
• W dowolnym zbiorze $X$ można określić topologię, wyróżniając przy pomocy tzw. operacji Kuratowskiego rodzinę zbiorów domkniętych.
• Jeśli $X$ jest przestrzenią topologiczną oraz $A\subseteq X$, to następujące warunki są równoważne:
  1. $x\in \operatorname {cl} \;A$,
  2. dla każdej bazy otoczeń ${\mathcal {B}}(x)$ punktu $x$ i każdego $U\in {\mathcal {B}}(x)$ mamy $U\cap A\neq \varnothing$,
  3. dla pewnej bazy otoczeń ${\mathcal {B}}(x)$ punktu $x$ i każdego $U\in {\mathcal {B}}(x)$ mamy $U\cap A\neq \varnothing$.
• Jeśli $(X,d)$ jest przestrzenią metryczną oraz $A\subseteq X$, to

$\operatorname {cl} \;A=\{x\in X\colon d(x,A)=0\}$, gdzie przez $d(x,A)$ rozumie się odległość punktu od zbioru.

• Jeżeli $X$ jest przestrzenią spełniającą pierwszy aksjomat przeliczalności (np. przestrzenią metryczną) oraz $A\subseteq X$, to

$x\in \operatorname {cl} \;A\iff x$ jest granicą ciągu o wyrazach ze zbioru $A$. Formalnie:

$x\in \operatorname {cl} \;A\iff \exists _{(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in A^{\mathbb {N} }}~x=\lim _{n\to \infty }~x_{n}$.

• Z poprzedniego warunku mamy: w przestrzeni metrycznej domknięcie zbioru jest zbiorem wszystkich granic ciągów należących do danego zbioru. Okazuje się, że można sformułować podobny warunek dla dowolnej przestrzeni topologicznej $X$:

Jeśli $A\subseteq X$, to $x\in \operatorname {cl} \;A\iff x$ jest granicą ciągu uogólnionego o wyrazach ze zbioru $A$.

Własności

Niech $X$ będzie przestrzenią topologiczną oraz $A,B\subseteq X$.

• $\operatorname {cl} \;\varnothing =\varnothing$
• $A\subseteq \operatorname {cl} \;A$,
• $\operatorname {cl} (A\cup B)=\operatorname {cl} \;A\cup \operatorname {cl} \;B$
• $\operatorname {cl} (\operatorname {cl} \;A)=\operatorname {cl} \;A$ (idempotentność).

Dalsze własności

1. $\operatorname {cl} \;X=X$,
2. $A\$ jest domknięty $\iff A=\operatorname {cl} \;A$,
3. $A\subset B\implies \operatorname {cl} \;A\subset \operatorname {cl} B$ (monotoniczność),
4. $\operatorname {cl} (A\cap B)\subseteq \operatorname {cl} \;A\cap \operatorname {cl} \;B$; ta własność uogólnia się do przeliczalnej liczby zbiorów:
   1. Ogólniej, jeśli $(A_{i})_{i\in I}$ jest przeliczalną rodziną podzbiorów $X$, to
      $\quad \operatorname {cl} \;\bigcap _{i\in I}~A_{i}\subseteq \bigcap _{i\in I}~\operatorname {cl} \;A_{i}$.
5. Jeśli $(A_{i})_{i\in I}$ jest rodziną podzbiorów zbioru $X$, to
   $\quad \bigcup _{i\in I}~\operatorname {cl} \;A_{i}\subset \operatorname {cl} \;\bigcup _{i\in I}~A_{i}$.
6. Jeśli $(A_{i})_{i\in I}$ jest rodziną lokalnie skończoną podzbiorów zbioru $X$, to
   $\quad \bigcup _{i\in I}~\operatorname {cl} \;A_{i}=\operatorname {cl} \;\bigcup _{i\in I}~A_{i}$.
7. Domknięcie zbioru jest sumą mnogościową tego zbioru oraz jego brzegu.
8. Jeśli $Y$ jest podprzestrzenią topologiczną $X$, zawierającą $A$, to domknięcie $A$ w przestrzeni $Y$ jest równe części wspólnej $Y$ i domknięcia $A$ w przestrzeni $X$: $\operatorname {cl} _{Y}(A)=Y\cap \operatorname {cl} _{X}(A)$.
9. Dla każdego $A\subset X$ mamy
   $\operatorname {cl} \;A=X\setminus \operatorname {Int} \;(X\setminus A)$

Operacja domknięcia a topologia

Jeżeli operację brania domknięcia zbioru przyjmiemy jako pewną operację pierwotną na zbiorach, która spełnia cztery pierwsze własności, to może ona posłużyć do zdefiniowania topologii przez operację domknięcia w zbiorze $X$.

Przykłady

• W topologii antydyskretnej (czyli takiej, w której jedynymi zbiorami otwartymi są $\varnothing$ i $X$), domknięciem dowolnego zbioru niepustego jest cała przestrzeń, innymi słowy, każdy niepusty podzbiór tej przestrzeni jest gęsty.
• W topologii euklidesowej, na prostej rzeczywistej domknięciem
  • przedziału otwartego $(0,1)$ jest przedział domknięty $[0,1]$.
  • zbioru liczb wymiernych jest $\mathbb {R}$.
• W przestrzeniach metrycznych, domknięcie danego zbioru stanowią wszystkie granice ciągów elementów tego zbioru.

Literatura

1. Ryszard Engelking: Topologia Ogólna. Warszawa: PWN, 1976. Brak numerów stron w książce

Zobacz też

• przegląd zagadnień z zakresu matematyki,
• brzeg zbioru,
• matroid,
• pochodna zbioru,
• wnętrze zbioru.