Prędkość kątowa

Prędkość kątowa

Prędkość kątowa jest wielkością wektorową $\omega ,$ której kierunek pokrywa się z osią obrotu, a zwrot jest zgodny z regułą śruby prawoskrętnej

Prędkość kątowa – wielkość wektorowa opisująca ruch obrotowy (np. ruch po okręgu) ciała. Jest wektorem (pseudowektorem) leżącym na osi obrotu ciała i skierowanym zgodnie z regułą śruby prawoskrętnej.

Jeśli współrzędną kątową ciała określa kąt $\theta$ to wartość prędkości kątowej $\omega$ jest równa:

$\omega ={\frac {d\theta }{dt}}.$

Jednostką prędkości kątowej w układzie SI jest radian na sekundę:

$\omega =\left[\mathrm {\frac {rad}{s}} \right].$

Związek z liniowymi wielkościami kinematycznymi

Jeżeli ciało porusza się po okręgu, to obróciwszy się o kąt $\theta ,$ zakreśli łuk o długości:

$s=\theta r.$

Zależność chwilowej prędkości liniowej $v$ ciała poruszającego się po okręgu o promieniu $r$ od chwilowej prędkości kątowej $\omega$ tego ciała dana jest wzorem:

$v={\frac {ds}{dt}}={\frac {d\theta r}{dt}}=\omega r,$

gdzie $s$ jest długością łuku zakreślanego w czasie $t.$

Różniczkując powyższy związek względem czasu:

${\frac {dv}{dt}}=r{\frac {d\omega }{dt}},$

$a_{t}=r\varepsilon ,$

gdzie $a_{t}$ to przyspieszenie styczne ciała, a $\varepsilon$ to przyspieszenie kątowe.

Zmiana kierunku ruchu punktu poruszającego się po okręgu wywołuje przyspieszenie dośrodkowe zwane też radialnym:

$a_{r}={\frac {v^{2}}{r}}=\omega ^{2}r.$

Zapis wektorowy

W zapisie wektorowym prędkość kątowa zdefiniowana jest następująco:

${\boldsymbol {\omega }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{|\mathbf {r} |^{2}}},$

co odpowiada:

$\mathbf {v} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} ,$

czyli jako iloczyn wektorowy wektora wodzącego ciała poruszającego się ruchem obrotowym i jego prędkości liniowej (chwilowej). Stąd pochodzą wszystkie jej wyżej wymienione własności.

Przyspieszenie kątowe:

${\boldsymbol {\varepsilon }}={\frac {d\omega }{dt}}.$

Jeżeli nie zmienia się promień ruchu ciała, to przyspieszenie liniowe:

$\mathbf {a} =\mathbf {a_{t}} +\mathbf {a_{r}} ,$

$\mathbf {a_{t}} =\varepsilon \times \mathbf {r} ,$

$\mathbf {a_{r}} =\omega \times \mathbf {v} .$

Zobacz też

• prędkość obrotowa
• przyspieszenie kątowe
• pulsacja

Bibliografia

• Robert Resnick, David Halliday: Podstawy fizyki. Wydawnictwo Naukowe PWN, 1999. ISBN 83-01-09323-4.