Teleso (algebra)

Teleso (angl. division ring) je algebraická štruktúra, na ktorej sú definované dve binárne operácie. Je rozšírením okruhu oproti ktorému navyše prináša existenciu inverzného prvku pre obe binárne operácie (okruh vyžaduje existenciu inverzného prvku len pre operáciu +).

Pole (komutatívne teleso, angl. Field) je teleso, ktorého obe operácie sú komutatívne. V telese (okruhu) sa predpokladá iba komutatívnosť sčítania.^[1]

Definícia telesa

Trojicu $({\mathcal {F}},+,\cdot )$ , kde ${\mathcal {F}}$ je množina a + (sčítanie) a $\cdot$ (násobenie) sú binárne operácie, nazývame telesom, pokiaľ $({\mathcal {F}},+,\cdot )$ je okruh a ak navyše platí

pre každé $x\in {\mathcal {F}}\setminus \{0\}$ existuje $y\in {\mathcal {F}}$ , tak, že $x\cdot y=y\cdot x=1$ , čo označujeme $y=x^{-1}$ .

Alternatívna definícia telesa: teleso je množina F s aspoň dvoma prvkami 0, 1 s operáciami:

sčítanie, pričom (F, +, -, 0) je Abelovská grupa (+ je komutatívna),
násobenie, pričom $(F\setminus \{0\},\cdot ,^{-1},1)$ je grupa,

a navyše platia distributívne zákony medzi sčítaním a násobením:

a(b+c)=ab+ac

(b+c)a=ba+ca

V komutatívnom telese navyše požadujeme, aby aj multiplikatívna grupa bola komutatívna, teda: $ab=ba$ .

Nadteleso telesa ${\mathcal {F}}$ je také teleso, že ${\mathcal {F}}$ je jeho podmnožinou.

Príklady telies

Množina racionálnych čísel $\mathbb {Q}$
Množina reálnych čísel $\mathbb {R}$ a jej najväčšie algebraické komutatívne nadteleso je množina komplexných čísel $\mathbb {C}$
Kvaternióny, nekomutatívne teleso, najväčšie algebraické nadteleso množiny reálnych čísel $\mathbb {R}$
Teleso racionálnych funkcií $\mathbb {R} (x)$
Teleso reálnych funkcií $\mathbb {R} (x)$
Množina zvyškových tried $\mathbb {Z} _{p}$ pre každé prvočíslo $p$ .
Galoisové telesá $\operatorname {GF} (p^{n})$