Konvergenčni polmer

Konvergénčni polmér (tudi ~ pólmer) potenčne vrste je v matematiki nenegativna količina, realno število ali $\scriptstyle \infty ,$ ki predstavlja območje (znotraj polmera) v katerem bo funkcija konvergirala.

Definicija

Za potenčno vrsto f, določeno kot:

$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}\!\,,$

je:

a konstanta, središče konvergenčnega diska,

c_n n-ti kompleksni koeficient in

z spremenljivka.

Konvergenčni polmer r (tudi označbi R ali $\rho$ je takšno nenegativno realno število ali $\scriptstyle \infty$, da vrsta konvergira pri:

$|z-a|<r\!\,$

in divergira pri:

$|z-a|>r\!\,.$

Vrsta tako konvergira, če je z dovolj blizu središču in divergira, če je razdalja večja. Konvergenčni polmer določa kako blizu je dovolj blizu. Konvergenčni polmer je neskončen, če vrsta konvergira za vsa kompleksna števila z.

Iskanje konvergenčnega polmera

Konvergenčni polmer lahko določimo s pomočjo Cauchyjevega korenskega kriterija na člene vrste. Korenski test uporablja število:

$C=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|f_{n}|}}\!\,$

kjer je ƒ_n n-ti člen c_n(z − a)ⁿ (»lim sup« označuje limito supremum). Po korenskem kriteriju vrsta konvergira, če je |C| < 1 in divergira, če je |C| > 1. Tako potenčna vrsta konvergira, če je razdalja od z do središča a manjša kot:

$r={\frac {1}{\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}}}\!\,$

in divergira, če je razdalja večja. Pri tem je r = 1/0 mišljen kot neskončni polmer, kar pomeni, da je ƒ cela funkcija.

Limito v d'Alembertovem kvocientnem kriteriju je po navadi lažje izračunati, vendar ni nujno da obstaja, tako da je treba uporabiti Cauchyjev korenski kriterij. Pri d'Alembertovem kvocientnem kriteriju nastopa limita:

$L=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {f_{n+1}}{f_{n}}}\right|\!\,.$

V primeru potenčnih vrst lahko to uporabimo za določitev:

$r=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {c_{n}}{c_{n+1}}}\right|\!\,.$

Jasen in preprost rezultat iz zamotanosti

Eden od najboljših zgledov jasnosti in preprostosti izhaja iz predstave o kompleksnih številih, kjer lahko predstava o realnih številih privede do zmede in o čemer govori naslednji izrek kompleksne analize:

Konvergenčni polmer je vedno enak razdalji od središča do najbližje točke, kjer ima funkcija f (neodpravljivo) singularnost. Če ne obstaja nobena takšna točka, je konvergenčni polmer neskončen.

Najbližja točka pomeni najbližjo točko v kompleksni ravnini in ne nujno na realni premici, tudi če so središče in vsi koeficienti realni. Zadnja izjava je stranski proizvod dokaza, da so holomorfne funkcije analitične.

Preprosti zgled

Krožno funkcijo arkus tangens lahko izrazimo s potenčno vrsto, ki je dovolj znana:

$\operatorname {arc\,tg} \,(z)=z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots \!\,.$

S pomočjo d'Alembertovega kvocientnega kriterija lahko preprosto ugotovimo, da je konvergenčni polmer enak 1. To lahko vidimo tudi iz:

${\frac {d}{dz}}\operatorname {arc\,tg} \,(z)={\frac {1}{1+z^{2}}}\!\,$

kjer je imenovalec enak nič pri z² = − 1, oziroma, ko je z = i ali − i. Središče te potenčne vrste leži v točki 0. Razdalja od 0 do obeh singularnih točk je enaka 1. Zato je to vrednost konvergenčnega polmera.

Bolj zapleten zgled

Poglejmo potenčno vrsto:

${\frac {z}{e^{z}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}z^{n}\!\,$

kjer so racionalna števila B_n Bernoullijeva števila. Z d'Alembertovim kvocientnim kriterijem težko najdemo konvergenčni polmer te vrste. Po zgornjem izreku iz kompleksne analize lahko problem hitro rešimo. V točki z = 0 ni singularnosti, ker je odpravljiva. Edino neodpravljive singularnosti tako ležijo v drugih točkah, kjer je imenovalec enak nič. Rešimo:

$e^{z}-1=0\!\,$

če upoštevamo, da je z = x + iy in e^iy = cos(y) + i sin(y):

$e^{z}=e^{x}e^{iy}=e^{x}(\cos(y)+i\sin(y))\!\,,$

kjer nato upoštevamo, da sta x in y realni. Ker je y realna, je absolutna vrednost cos(y) + i sin(y) nujno enaka 1. Zato je absolutna vrednost e^z lahko enaka 1, če je e^x enako 1, in, ker je x realna, se to zgodi, če je x = 0. Zato potrebujemo cos(y) + i sin(y) = 1. Ker je y realna, to velja edino kadar je cos(y) = 1 in sin(y) = 0, in je y mnogokratnik od 2π. Ker je realni del x enak 0 in je imaginarni del y neničelni mnogokratnik od 2π, je rešitev naše enačbe:

z = a neničelni mnogokratnik pd 2πi.

Najbližja singularnost središču (središče leži v tem primeru leži v 0) je v 2πi ali − 2πi. Razdalja od središča do obeh točk je enaka, in toliko je tudi vrednost konvergenčnega polmera.

Konvergenca na »konvergenčni krožnici«

Konvergenčna krožnica potenčne vrste je množica točk v kompleksni ravnini na razdalji r od točke, okoli katere je vrsta razvita, in je r konvergenčni polmer. Potenčna vrsta lahko divergira v vsaki točki obsega konvergenčnega diska, ali divergira v nekaterih točkah na obsegu in konvergira v drugih točkah, ali pa konvergira v vseh točkah na krožnici.

Zgled 1: Potenčna vrsta funkcije ƒ(z) = (1 − z)⁻¹, razvita okoli z = 0, ima konvergenčni polmer enak 1 in divergira v vsaki točki na konvergenčni krožnici.

Zgled 2: Potenčna vrsta za g(z) = ln(1 − z) ima konvergenčni polmer r = 1, razvita okoli točke z = 0, in divergira za z = 1, konvergira pa v vseh drugih točkah na krožnici. ƒ(z) v prvem zgledu je odvod negativne vrednosti g(z).

Zgled 3: Potenčna vrsta:

$\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{(-n)(n-1)}}z^{n}\!\,$

ima konvergenčni polmer enak 1 in konvergira povsod na krožnici. Če je h(z) funkcija, predstavljena s to vrsto, je odvod h(z) enak g(z) v drugem zgledu.

Razlaga stopnje konvergence

Če razvijemo funkcijo:

$f(x)=\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\quad =x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots {\mbox{ za vse }}x\!\,$

okoli točke x = 0, ugotovimo, da je konvergenčni polmer te vrste enak $\scriptstyle \infty$, kar pomeni, da vrsta konvergira za vse kompleksne vrednosti. Včasih potrebujemo točen numerični odgovor. Število členov in vrednost, v kateri bomo izračunali vrsto, vpliva na točnost numeričnega izračuna. Če želimo na primer izračunati ƒ(0,1) = sin(0,1) točno na 5 decimalnih mest, potrebujemo le prva dva člena vrste. Če pa želimo isto točnost za x = 1, moramo izračunati in sešteti prvih pet členov vrste. Za ƒ(10) za isto točnost potrebujemo osemnajst in za ƒ(100) prvih 141 členov.

Najhitreje razvoj vrste konvergira v središču in pri oddaljevanju od središča konvergence se stopnja konvergence zmanjša dokler ne dosežemo meje, če obstaja, in jo prečkamo, kjer bo vrsta divergirala.

Grafični zgled

Obravnavajmo funkcijo 1/(z² + 1).

Funkcija ima pola v z = $\scriptstyle \pm$i.

Kot je razvidno iz prvega zgleda, je konvergenčni polmer te funkcije enak 1, saj je razdalja od 0 do obeh polov enaka 1. Potem bo Taylorjeva vrsta te funkcije okoli točke $z=0$ konvergirala le kadar je |z| < 1.

Konvergenčna abscisa Dirichletove vrste

Sorodni pojem je konvergenčna abscisa Dirichletove vrste:

$\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n^{s}}\!\,.$

Takšna vrsta konvergira, če je realni del s manjši od določenega števila, kar je odvisno od koeficientov a_n, od konvergenčne abscise.

Viri

• Brown, James; Churchill, Ruel (1989), Complex variables and applications, New York: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-010905-6

Zunanje povezave

• Kaj je konvergenčni polmer? (angleško)