Pojdi na vsebino

Obseg (algebra)

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
(Preusmerjeno s strani Polje (matematika))

Obsèg je v abstraktni algebri ime za algebrsko strukturo, v kateri je možno brez omejitev seštevati, odštevati, množiti in deliti (razen deljenja z 0), pri tem pa veljajo podobni zakoni kot v množici racionalnih ali realnih števil. Obseg je torej neke vrste posplošitev množice realnih števil.

Definicija

[uredi | uredi kodo]

Obseg je množica O skupaj z dvema računskima operacijama, ki ju zaradi preprostosti imenujemo seštevanje in množenje in ju označujemo z znakoma + (plus) in · (krat). Za računski operaciji + in · morajo veljati spodaj navedene lastnosti. Odštevanje definiramo kot prištevanje nasprotne vrednosti ab = a + (−b), deljenje pa kot množenje z obratno vrednostjo: a : b = a · b−1. Za ti dve operaciji ne zahtevamo dodatnih lastnosti.

Tako opremljeno množico označimo kot (O, +, ·)

Kratka definicija

[uredi | uredi kodo]

Obseg je množica (O, +, ·) v kateri velja:

  • (O, +, ·) je kolobar
  • obstaja nevtralni element za množenje, ki ga označimo 1 (enota), in je različen od nevtralnega elementa za seštevanje (0):
1 · a = a · 1 = a
  • za vsak od 0 različen element a obstaja inverzni element a−1, tako da velja:
a · a−1 = a−1 · a = 1

Daljša definicija

[uredi | uredi kodo]

Obseg je množica (O, +, ·) v kateri velja (za poljubne elemente a, b, c):

a · (b + c) = (a · b) + (a · c)
(a + b) · c = (a · c) + (b · c)
  • obstaja nevtralni element za množenje, ki ga označimo 1 (enota), in je različen od nevtralnega elementa za seštevanje (0):
1 · a = a · 1 = a
a · a−1 = a−1 · a = 1

Vrste obsegov

[uredi | uredi kodo]

Med zgoraj napisanimi zahtevami ni komutativnosti za množenje. Če v nekem obsegu velja tudi komutativnost množenja (a · b = b · a), potem je to komutativni obseg. Nekateri avtorji za komutativni obseg uporabljajo ime polje, a to poimenovanje v slovenščini ni splošno razširjeno.

Zgledi

[uredi | uredi kodo]

Množica racionalnih števil z operacijama seštevanja in množenja (Q, +, ·) je komutativni obseg. Isto velja za množico realnih števil, pa tudi za množico kompleksnih števil.

Tudi množica racionalnih funkcij z operacijama seštevanja in množenja je komutativni obseg.

Glej tudi

[uredi | uredi kodo]
pFad - Phonifier reborn

Pfad - The Proxy pFad of © 2024 Garber Painting. All rights reserved.

Note: This service is not intended for secure transactions such as banking, social media, email, or purchasing. Use at your own risk. We assume no liability whatsoever for broken pages.


Alternative Proxies:

Alternative Proxy

pFad Proxy

pFad v3 Proxy

pFad v4 Proxy