球 (數學)

在數學中,指以球面為邊界的空間

(英語:sphere)在數學裡,是指球面內部的空間。球可以是封閉的(包含球面的邊界點,稱為閉球),也可以是開放的(不包含邊界點,稱為開球)。

一個球
歐氏空間裡,是指球面的內部。

球的概念不只存在於三維歐氏空間裡,亦存在於較低或較高維度,以及一般度量空間裡。維空間裡的球稱為維球,且包含於維球面內。因此,在歐氏平面裡,球為一圓盤,包含在內。在三維空間裡,球則是指在二維球面邊界內的空間。

歐氏空間裡的球

編輯

  維歐氏空間裡,一個中心為   ,半徑為    維(開)球是個由所有距   的距離小於   的點所組成之集合。一個中心為  ,半徑為    維閉球是個由所有距   的距離小於等於   的點所組成之集合。

  維歐氏空間裡,每個球都是某個超球面內部的空間。在一維時,球是個有界的區間;在二維時,是某個的內部(圓盤);而在三維時,則是某個球面的內部。

體積

編輯

  維歐氏空間裡,半徑   的球之   維體積為[1]

 

其中,Γ是李昂哈德·歐拉Γ函數(可被視為階乘實數的延伸)。使用Γ函數在整數與半整數時的公式,可不需要估算Γ函數即可計算出球的體積:

 
 

在奇數維度時的體積公式裡,對每個奇數 雙階乘 (2k + 1)!! 定義為 (2k + 1)!! = 1 · 3 · 5 ··· (2k − 1) · (2k + 1)。

一般度量空間裡的球

編輯

令 (M,d) 為一度量空間,即具有度量(距離函數)d 的集合 M。中心為 M 內的點 p,半徑為 r > 0 的開球,通常標計為 Br(p) 或 B(pr),定義為

 

其閉球,可標計為 Br[p] 或 B[pr],則定義為

 

請特別注意,一個球(無論開放或封閉)總會包含點 p,因為依定義, r > 0。

開球的閉包通常標記為  。雖然    總是成立的,但   則不一定總是為真。舉例來說,在一個具離散度量的度量空間 X 裡,對每個 X 內的 p 而言, ,但  

一個(開或閉)單位球為一半徑為 1 的球。

度量空間的子集是有界的,若該子集包含於某個球內。一個集合是全有界的,若給定一正值半徑,該集合可被有限多個具該半徑的球所覆蓋。

度量空間裡的開球為拓撲空間裡的,其中所有的開集合均為某些(有限或無限個)開球的聯集。該拓撲空間被稱為由度量 d 導出之拓撲。

賦範向量空間裡的球

編輯

每個具範數 |·| 的賦範向量空間亦為一度量空間,其中度量 d(x, y) = |x − y|。在此類空間裡,每個球 Br(p) 均可視為是單位球 B1(0) 平移 p,再縮放 r 後所得之集合。

前面討論的歐氏空間裡的球亦為賦範向量空間裡球的一例。

p-範數

編輯

在具 p-範數 Lp笛卡爾空間   裡,開球是指集合

 

在二維(n=2)時,L1(通常稱為曼哈頓度量)的球是對角線平行於坐標軸的正方形;而 L切比雪夫度量)的球則是個邊平行於坐標軸的正方形。對於 p 的其他值,該球則會是超橢圓的內部。

在三維(n=3)時,L1 的球是個對角線平行為坐標軸的八面體,而 L 的球則是個邊平行為坐標軸的正立方體。對於 p 的其他值,該球則會是超橢球的內部。

一般凸範數

編輯

更一般性地,給定任一 Rn中心對稱有界開放的集合 X,均可定義一個在 Rn範數,該球均為 X 平移再一致縮放後所得之集合。須注意,若將此定理內的「開」子集以「閉」子集替代,則定理不能成立,因為原點也符合定理內所定之集合,但無法定義 Rn 內的範數。

拓撲空間裡的球

編輯

拓撲學的文獻裡,「球」可能有兩種含義,由上下文決定。

開集

編輯

「(開)球」一詞有時被非正式地用於指代任何開集:可以用「p 點周圍的一個球」代表包含p 的一個開集。該集合同胚於什麼依賴於背景拓撲空間以及所選取的開集。同樣,「閉球」有時用於表示這樣一個開集的閉包。(這可能產生誤導,例如超度量空間中一個閉球不是同樣半徑的開球的閉包,它們都是既開且閉的。)

有時,鄰域用於指代這個意義上的球,但是鄰域其實有更一般的意義:p 的一個鄰域是任何包含一個p 的開集的集合,因此通常不是開集。

拓撲球

編輯

X 內的 n 維(開或閉)拓撲球是指 X 內同胚於 n 維(開或閉)歐幾里得球的任一子集,該子集不一定需要由某個度量導出。n 維拓撲球在組合拓撲學裡很重要,為建構胞腔復形的基礎。

任一 n 維開拓撲球均同胚於笛卡爾空間 Rn 及 n 維開單位超方形  。任一 n 維閉拓撲球均同胚於 n 維閉超方形 [0, 1]n

n 維球同胚於 m 維球,若且唯若 n = m。n 維開球 B 與 Rn 間的同胚可分成兩種類型,以 B 的兩種可能之拓撲定向來區分。

一個 n 維拓撲球不一定是光滑的;若該球是光滑的,亦不一定需微分同胚於一 n 維歐幾里得球。

另見

編輯

參考文獻

編輯
  • D. J. Smith and M. K. Vamanamurthy, "How small is a unit ball?", Mathematics Magazine, 62 (1989) 101–107.
  • "Robin conditions on the Euclidean ball", J. S. Dowker [1]
  • "Isometries of the space of convex bodies contained in a Euclidean ball", Peter M. Gruber[2][永久失效連結]

參見

編輯
pFad - Phonifier reborn

Pfad - The Proxy pFad of © 2024 Garber Painting. All rights reserved.

Note: This service is not intended for secure transactions such as banking, social media, email, or purchasing. Use at your own risk. We assume no liability whatsoever for broken pages.


Alternative Proxies:

Alternative Proxy

pFad Proxy

pFad v3 Proxy

pFad v4 Proxy